湖北省荆门市何场中学2023年高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 复数的虚部是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣2i D.2i
参考答案:
A
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】化简复数z,写出它的虚部即可.
【解答】解:复数==1﹣2i,
∴z的虚部是﹣2.
故选:A.
2. 抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
3. 若a>b>0,c<d<0,则一定有( )
A.> B.< C.> D.<
参考答案:
B
考点:不等关系与不等式.
专题:不等式的解法及应用.
分析:利用特例法,判断选项即可.
解答:解:不妨令a=3,b=1,c=﹣3,d=﹣1,
则,
∴C、D不正确;
=﹣3,=﹣
∴A不正确,B正确.
解法二:
∵c<d<0,
∴﹣c>﹣d>0,
∵a>b>0,
∴﹣ac>﹣bd,
∴,
∴.
故选:B.
点评:本题考查不等式比较大小,特值法有效,带数计算正确即可
4. 椭圆的焦点为F1、F2,AB是椭圆过焦点F1的弦,则△ABF2的周长是( )
A.20 B.12 C.10 D.6
参考答案:
A
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】根据椭圆的标准方程,求出a的值,由△ABF2的周长是 (|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a 求出结果.
【解答】解:椭圆,
∴a=5,b=3.
△ABF2的周长是 (|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=20,
故选A.
5. 若,使成立的一个充分不必要条件是
A . B. C . D .
参考答案:
D
6. 某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形.则该儿何体的体积为( )
A.24 B.80 C.64 D.240
参考答案:
B
结合题意知该几何体是四棱锥,棱锥的的底面是边长为8和6的长方形,
棱锥的高是5, ∴由棱锥的体积公式得,故选B;
7. 若随机变量X服从两点分布,且成功的概率,则和分别为( )
A. 0.5和0.25 B. 0.5和0.75 C. 1和0.25 D. 1和0.75
参考答案:
A
【分析】
先由随机变量X服从两点分布,且成功的概率p=0.5,作出X的概率分布,然后再求E(X)和D(X).
【详解】∵X服从两点分布,
∴X的概率分布为
∴E(X)=0×0.5+1×0.5=0.5,
D(X)=0.52×0.5+(1﹣0.5)2×0.5=0.25.
故选:A.
【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布,解题时要注意两点分布的性质和应用.
8. 函数上递增,则的范围是( )
参考答案:
D
9. 函数f(x)=2sinxcosx是( )
A. 最小正周期为2π的奇函数 B. 最小正周期为2π的偶函数
C. 最小正周期为π的奇函数 D. 最小正周期为π的偶函数
参考答案:
C
10. 若复数满足,则的虚部为
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数 对于总有≥0 成立,则= .
参考答案:
4
略
12. 双曲线﹣=1的渐近线方程是 .
参考答案:
y=±x
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程,化简即可得到所求.
【解答】解:∵双曲线方程为﹣=1的,则渐近线方程为线﹣=0,即y=±,
故答案为y=±.
【点评】本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程.
13. 经过曲线处的切线方程为 。
参考答案:
略
14. 已知点(2,3)在双曲线C:上,C的焦距为4,则它的离心率为 .
参考答案:
2
略
15. 若函数则
参考答案:
2
16. 若命题“,使得成立”是假命题,则实数a的取值范围是_______.
参考答案:
【分析】
根据原命题为假,可得,都有;当时可知;当时,通过分离变量可得,通过求解最值得到结果.
【详解】由原命题为假可知:,都有
当时,,则
当时,
又,当且仅当时取等号
综上所述:
本题正确结果:
【点睛】本题考查根据命题的真假性求解参数范围,涉及到恒成立问题的求解.
17. 有下列命题:
① “” 是 “” 的既不充分也不必要条件;
②双曲线与椭圆有相同的焦点;
③;④;⑤;
其中真命题的有:__ _____.(填命题的序号上)
参考答案:
②,④
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 四棱锥,底面为平行四边形,侧面底面.已知,,,为线段的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求面与面所成二面角的平面角的余弦值大小.
参考答案:
(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)
试题分析:(Ⅰ)要证直线与平面平行,可先寻求直线与直线平行;连结交于点,连结,
可证.(Ⅱ)由,,,可得,根据余弦定理得:
==
和 都是等腰三角形,再借助于侧面底面,以所在直线为轴,以的中点为坐标原点,建立空间直角坐标系即可.
试题解析:解:(Ⅰ) 连结交于点,连结
由于底面为平行四边形 为的中点. 2分
在中,为的中点 3分
又因为面,面,
平面. 5分
(Ⅱ)以的中点为坐标原点,分别以为轴,建立如图所示的坐标系.
则有,,,
,,, 7分
设平面的一个法向量为
由 得,
令 得: -9分
同理设平面的一个法向量为
由 得,
令 得: 10分
设面与面所成二面角为
= 12分
考点:1、直线与平面、平面与平面位置关系;2、用空间向量求二面角3、余弦定理.
略
19. 写出用二分法求方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]上的一个解的算法(误差不超过0.001),并画出相应的程序框图及程序.
参考答案:
程序:a=1
b=1.5
c=0.001
DO
x=(a+b)2
f(a)=a∧3-a-1
f(x)=x∧3-x-1
IF f(x)=0 THEN
PRINT “x=”;x
ELSE
IF f(a)*f(x)<0 THEN
b=x
ELSE
a=x
END IF
END IF
LOOP UNTIL ABS(a-b)<=c
PRINT “方程的一个近似解x=”;x
END
20. (本题10分)实数取什么值时,复数是
(1)实数? (2)纯虚数?
参考答案:
21. △ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,向量=(2sinB,2﹣cos2B),=(2sin2(+),﹣1)且⊥.
(1)求角B的大小;
(2)若a=,b=1,求c的值.
参考答案:
解:(1)由于,所以,所以,
即,
即2sinB+2sin2B﹣2+1﹣2sinB2=0,
解得.
由于0<B<π,所以或;
(2)由a>b,得到A>B,即B=,
由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB,
代入得:1=3+c2﹣2c?或1=3+c2﹣2c?(﹣),
即c2+3c+2=0(无解)或c2﹣3c+2=0,
解得c=1或c=2.
考点:两角和与差的正弦函数;数量积的坐标表达式;余弦定理.
专题:计算题.
分析:(1)根据得关于角B的三角函数的方程,解方程即可求出角B;
(2)求出角B后,根据余弦定理可得一个关于c的一元二次方程,解这个方程求解c值.
解答:解:(1)由于,所以,所以,
即,
即2sinB+2sin2B﹣2+1﹣2sinB2=0,
解得.
由于0<B<π,所以或;
(2)由a>b,得到A>B,即B=,
由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB,
代入得:1=3+c2﹣2c?或1=3+c2﹣2c?(﹣),
即c2+3c+2=0(无解)或c2﹣3c+2=0,
解得c=1或c=2.
点评:本题考查三角形中三角恒等变换、解三角形.方程思想在三角形问题中的应用极为广泛,根据已知条件可得方程、根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等都可以得到方程,解三角形问题的实质就是根据有关定理列方程求解未知元素.
22. (10分)如图3,已知:C是以AB为直径的半圆O上一点,CH⊥AB于点H,直线AC与过B点的切线相交于点D,E为CH中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于点G,
(1)求证:点F是BD中点;
(2)求证:CG是⊙O的切线;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径.
参考答案:
解:(1)证明:
∵CH⊥AB,DB⊥AB,∴△AEH∽AFB,△ACE∽△ADF,
∴,∵HE=EC,∴BF=FD
(2)方法一:连接CB、OC,∵AB是直径,∴∠ACB=90°
∵F是BD中点,
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO
∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线。
方法二:可证明△OCF≌△OBF(略)
(3)解:由FC=FB=FE得:∠FCE=∠FEC,可证得:FA=FG,且AB=BG
由切割线定理得:(2+FG)2=BG×AG=2BG2 ……①
在Rt△BGF中,由勾股定理得:BG2=FG2-BF2 ……②
由①、②得:FG2-4FG-12=0,解之得:FG1=6,FG2=-2(舍去)
∴AB=BG=,∴⊙O半径为。
略