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湖北省荆门市官庄湖中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的 1. 已知,设函数的最大值为M,最小值为N,那么() A. 2020 B. 2019 C. 4040 D. 4039 参考答案: D 【分析】 通过分离分子可得,计算可得,利用函数的单调性计算可得结果. 【详解】解:, 又是上的增函数,,故选D. 【点睛】本题考查函数的单调性的判断和运用,注意解题方法的积累,考查运算能力,属于中档题. 2. 正项等比数列{an}中,a2016=a2015+2a2014,若aman=16a12,则+的最小值等于(  ) A.1 B. C. D. 参考答案: B 【考点】7F:基本不等式;88:等比数列的通项公式. 【分析】设正项等比数列{an}的公比为q,(q>0),运用等比数列的通项公式,解方程可得q=2,由条件可得m+n=6,运用乘1法和基本不等式,计算即可得到所求最小值. 【解答】解:设正项等比数列{an}的公比为q,(q>0), 由a2016=a2015+2a2014,得q2=q+2, 解得q=2或q=﹣1(舍去). 又因为aman=16a12,即a12?2m+n﹣2=16a12, 所以m+n=6. 因此 =≥(5+2)=, 当且仅当m=4,n=2时,等号成立. 故选:B. 【点评】本题考查最值的求法,注意运用乘1法和基本不等式,考查等比数列的通项公式,考查运算能力,属于中档题. 3. 将函数的图像向左平移个单位长度后,所得图像关于y轴对称,则的值可能为(   ) A. B. C. D. 参考答案: D 【分析】 先化简函数的解析式,再平移得到函数,再根据函数的对称性得解. 【详解】由题得, 将函数的图像向左平移个单位长度后得到, 由题得, 当k=0时,. 故选:D 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和图像的变换,考查函数奇偶性的应用,考查三角函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4. 已知全集{1,2,3,4,5,6},{2,3,5},{4,5},则集合{1,6}=(    )        A.∪                B.∩                 C.∪        D.∩ 参考答案: C ∪={2,3,4,5},所以{1,6}=∪,选择C。 5. 已知是奇函数,且时,(    )        A.             B.        C.              D. 参考答案: C 略 6. 设随机变量,,若,则的值为(    ) A. B. C. D. 参考答案: B , . 7. 已知平面α∩β=l,m是α内不同于l的直线,那么下列命题中错误的是(    ) A. 若m∥β,则m∥l B. 若m∥l,则m∥β C. 若m⊥β,则m⊥l D. 若m⊥l,则m⊥β 参考答案: D 【分析】 A由线面平行的性质定理判断.B根据两个平面相交,一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C根据线面垂直的定义判断.D根据线面垂直的判定定理判断. 【详解】A选项是正确命题,由线面平行的性质定理知,可以证出线线平行; B选项是正确命题,因为两个平面相交,一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面; C选项是正确命题,因为一个线垂直于一个面,则必垂直于这个面中的直线; D选项是错误命题,因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线,不能推出它垂直于这个平面; 故选:D. 【点睛】本题主要考查线线关系和面面关系,还考查了推理论证的能力,属于中档题. 8. 已知函数f(x)=x+,若对任意x∈R,f(x)>ax恒成立,则实数a的取值范围是(  ) A.(﹣∞,1﹣e) B.(1﹣e,1] C.[1,e﹣1) D.(e﹣1,+∞) 参考答案: B 【分析】根据题意,不等式x+>ax恒成立化为>(a﹣1)x恒成立; 设g(x)=,h(x)=(a﹣1)x,x∈R; 在同一坐标系内画出两个函数的图象,满足不等式恒成立的是h(x)的图象在g(x)图象下方, 求出过原点的g(x)的切线方程,得出切线斜率k,从而求出a的取值范围. 【解答】解:函数,对任意x∈R,f(x)>ax恒成立, ∴x+>ax恒成立, 即>(a﹣1)x恒成立; 设g(x)=,h(x)=(a﹣1)x,x∈R; 在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示; 则满足不等式恒成立的是h(x)的图象在g(x)图象下方, 求g(x)的导数g′(x)=﹣e﹣x, 且过g(x)图象上点(x0,y0)的切线方程为 y﹣y0=﹣(x﹣x0), 且该切线方程过原点(0,0), 则y0=﹣?x0, 即=﹣?x0, 解得x0=﹣1; ∴切线斜率为k=﹣=﹣e, ∴应满足0≥a﹣1>﹣e, ∴1﹣e<a≤1, ∴实数a的取值范围是(1﹣e,1]. 故选:B. 【点评】本题考查了函数的性质与应用问题,也考查了利用导数求函数的切线问题,是综合性题目. 9. 成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作,该书中记载有很多数列问题,如“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈. 问日益几何.”意思是:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,30天共织布390尺,则该女子织布每天增加(  )(其中1匹=4丈,1丈=10尺,1尺=10寸) A.5寸另寸 B.5寸另寸 C.5寸另寸 D.5寸另寸 参考答案: A 【考点】等差数列的前n项和. 【分析】设该妇子织布每天增加d尺,由等差数列前n项和公式能求出d,再把尺换算成寸即可. 【解答】解:设该妇子织布每天增加d尺, 由题意知, 解得d=尺. 尺=寸=5寸另寸. 故选:A. 10. 等边三角形ABC中,AB=2,E,F分别是边AB,AC上运动,若,则EF长度的最小值为(  ) A. B. C.1 D. 参考答案: A 【考点】余弦定理. 【分析】利用正弦定理、三角形的面积公式求得AE?AF=,再利用余弦定理、基本不等式,求得EF长度的最小值. 【解答】解:等边三角形ABC中,若==,∴AE?AF=. 由余弦定理可得EF2=AE2+AF2﹣2AE?AF?cos60°=AE2+AF2﹣AE?AF≥2AE?AF﹣AE?AF=AE?AF=, 即EF2≥,∴EF≥=,当且仅当AE=AF时,取等号,故EF长度的最小值为. 故选:A. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 复数(为虚数单位)的实部等于_________. 参考答案: -3 12. 若行列式,则          . 参考答案: 2 13.   给出定义:若(其中为整数),则叫做离实数 最近的整数,记作,即 . 在此基础上给出下列关于函数的四个命题: (1)的定义域是R,值域是[0,] (2)是周期函数,最小正周期是1(3)的图像关于直线(k∈Z)对称(4)在上是增函数   则其中真命题是__          参考答案: 答案:(1)、(2)、(3) 14. 已知定义在R上的函数满足:①函数的图像关于点(-1,0)对称;②对任意的,都有成立;③当时,,则          . 参考答案: -2 15. 已知为不等式组所表示的平面区域,为圆()及其内部所表示的平面区域,若“点”是“点”的充分条件,则区域的面积的最小值为_________. 参考答案: 16. 在△ABC中,则的最大值为         . 参考答案: ∵acosB﹣bcosA=c, ∴结合正弦定理,得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC, ∵C=π﹣(A+B),得sinC=sin(A+B) ∴sinAcosB﹣sinBcosA=(sinAcosB+cosAsinB) 整理,得sinAcosB=4sinBcosA,同除以cosAcosB,得tanA=4tanB 由此可得tan(A﹣B)= ∵A、B是三角形内角,且tanA与tanB同号 ∴A、B都是锐角,即tanA>0,tanB>0 ∵+4tanB≥4 ∴tan(A﹣B)=≤,当且仅当=4tanB,即tanB=时,tan(A﹣B)的最大值为.   17. 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数的图象恰好经过个格点,则称函数为阶格点函数.下列函数:①;②;③;④其中是一阶格点函数的有                (填上所有满足题意的序号). 参考答案: ①②④ 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18. (本题12分) 已知动圆过定点F(0,2),且与定直线l:y=-2相切. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)若AB是轨迹C的动弦,且AB过点F(0,2),分别以A、B为切点作轨迹C的切线,设两切线交点为Q,求证:AQ⊥BQ. 参考答案: 19. 已知数列{an}是公差不为0的等差数列,a1=1,且,,成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式 (2)设数列{}的前n项和为Tn,求证:Tn<. 参考答案: 【考点】数列的求和. 【分析】(1)设数列{an}的公差d≠0,a1=1,且,,成等比数列.可得=×,解得d,即可得出. (2)==.利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出. 【解答】(1)解:设数列{an}的公差d≠0,a1=1,且,,成等比数列. ∴=×,解得: =a1?a9,∴(1+2d)2=1×(1+8d),d≠0,解得d=1. ∴an=1+n﹣1=n. (2)证明: ==. ∴数列{}的前n项和Tn=+++…++ =<. ∴Tn<. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20. 已知函数. (1)求函数的单调区间。 (2)若函数的图像在点处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值时,对于任意的,函数在区间上总存在极值? 参考答案: 解:(1)由知: 当时,函数的单调增区间是,单调减区间是; 当时,函数的单调增区间是,单调减区间是; 当时,函数是常数函数,无单调区间。     (2)由, ∴,.          故, ∴, ∵ 函数在区间上总存在极值,∴ 函数在区间上总存在零点,     又∵函数是开口向上的二次函数,且 ∴                   由,令,则, 所以在上单调递减,所以; 由,解得; 综上得:            所以当在内取值时,对于任意的,函数在区间上总存在极值。   21. 设函数,其中向量=(2cosx,1),=(cosx,sin2x),x∈R.          (1)若f(x)=1-且x∈[-,],求x;          (2)若函数y=2sin2x的图象按向量=(m,n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m、n的值. 参考答案: 解:(1)依题设,f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).        ……………2分 由1+2sin(2x+)=1-,得sin(2x+)=-              .……………4分 ∵-≤x≤,∴-≤2x+≤,∴2x+=-, 即x=-.                                            .……………6分 (2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n
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