湖北省荆门市官庄湖中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，设函数的最大值为M，最小值为N，那么（） A. 2020 B. 2019 C. 4040 D. 4039 参考答案： D 【分析】 通过分离分子可得，计算可得，利用函数的单调性计算可得结果． 【详解】解：， 又是上的增函数，，故选D． 【点睛】本题考查函数的单调性的判断和运用，注意解题方法的积累，考查运算能力，属于中档题． 2. 正项等比数列{an}中，a2016=a2015+2a2014，若aman=16a12，则+的最小值等于（　　） A．1 B． C． D． 参考答案： B 【考点】7F：基本不等式；88：等比数列的通项公式． 【分析】设正项等比数列{an}的公比为q，（q＞0），运用等比数列的通项公式，解方程可得q=2，由条件可得m+n=6，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值． 【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q，（q＞0）， 由a2016=a2015+2a2014，得q2=q+2， 解得q=2或q=﹣1（舍去）． 又因为aman=16a12，即a12?2m+n﹣2=16a12， 所以m+n=6． 因此 =≥（5+2）=， 当且仅当m=4，n=2时，等号成立． 故选：B． 【点评】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查等比数列的通项公式，考查运算能力，属于中档题． 3. 将函数的图像向左平移个单位长度后，所得图像关于y轴对称，则的值可能为（   ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 先化简函数的解析式，再平移得到函数，再根据函数的对称性得解. 【详解】由题得， 将函数的图像向左平移个单位长度后得到， 由题得, 当k=0时，. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和图像的变换，考查函数奇偶性的应用，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4. 已知全集{1，2，3，4，5，6}，{2，3，5}，{4，5}，则集合{1，6}=（    ）        A．∪                B．∩                 C．∪        D．∩ 参考答案： C ∪={2，3，4，5}，所以{1，6}=∪，选择C。 5. 已知是奇函数，且时，（    ）        A．             B．        C．              D． 参考答案： C 略 6. 设随机变量，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 参考答案： B ， ． 7. 已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（    ） A. 若m∥β，则m∥l B. 若m∥l，则m∥β C. 若m⊥β，则m⊥l D. 若m⊥l，则m⊥β 参考答案： D 【分析】 A由线面平行的性质定理判断.B根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C根据线面垂直的定义判断.D根据线面垂直的判定定理判断. 【详解】A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行； B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面； C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线； D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 故选：D. 【点睛】本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题. 8. 已知函数f（x）=x+，若对任意x∈R，f（x）＞ax恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1﹣e） B．（1﹣e，1] C．[1，e﹣1） D．（e﹣1，+∞） 参考答案： B 【分析】根据题意，不等式x+＞ax恒成立化为＞（a﹣1）x恒成立； 设g（x）=，h（x）=（a﹣1）x，x∈R； 在同一坐标系内画出两个函数的图象，满足不等式恒成立的是h（x）的图象在g（x）图象下方， 求出过原点的g（x）的切线方程，得出切线斜率k，从而求出a的取值范围． 【解答】解：函数，对任意x∈R，f（x）＞ax恒成立， ∴x+＞ax恒成立， 即＞（a﹣1）x恒成立； 设g（x）=，h（x）=（a﹣1）x，x∈R； 在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示； 则满足不等式恒成立的是h（x）的图象在g（x）图象下方， 求g（x）的导数g′（x）=﹣e﹣x， 且过g（x）图象上点（x0，y0）的切线方程为 y﹣y0=﹣（x﹣x0）， 且该切线方程过原点（0，0）， 则y0=﹣?x0， 即=﹣?x0， 解得x0=﹣1； ∴切线斜率为k=﹣=﹣e， ∴应满足0≥a﹣1＞﹣e， ∴1﹣e＜a≤1， ∴实数a的取值范围是（1﹣e，1]． 故选：B． 【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用导数求函数的切线问题，是综合性题目． 9. 成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，如“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈． 问日益几何．”意思是：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（　　）（其中1匹=4丈，1丈=10尺，1尺=10寸） A．5寸另寸 B．5寸另寸 C．5寸另寸 D．5寸另寸 参考答案： A 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列前n项和公式能求出d，再把尺换算成寸即可． 【解答】解：设该妇子织布每天增加d尺， 由题意知， 解得d=尺． 尺=寸=5寸另寸． 故选：A． 10. 等边三角形ABC中，AB=2，E，F分别是边AB，AC上运动，若，则EF长度的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 参考答案： A 【考点】余弦定理． 【分析】利用正弦定理、三角形的面积公式求得AE?AF=，再利用余弦定理、基本不等式，求得EF长度的最小值． 【解答】解：等边三角形ABC中，若==，∴AE?AF=． 由余弦定理可得EF2=AE2+AF2﹣2AE?AF?cos60°=AE2+AF2﹣AE?AF≥2AE?AF﹣AE?AF=AE?AF=， 即EF2≥，∴EF≥=，当且仅当AE=AF时，取等号，故EF长度的最小值为． 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 复数（为虚数单位）的实部等于_________. 参考答案： -3 12. 若行列式，则          . 参考答案： 2 13.   给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数 最近的整数，记作，即 . 在此基础上给出下列关于函数的四个命题： （1）的定义域是R，值域是[0，] （2）是周期函数，最小正周期是1（3）的图像关于直线(k∈Z)对称（4）在上是增函数   则其中真命题是__          参考答案： 答案：（1）、（2）、（3） 14. 已知定义在R上的函数满足：①函数的图像关于点(－1,0)对称；②对任意的，都有成立；③当时，，则          . 参考答案： -2 15. 已知为不等式组所表示的平面区域，为圆（）及其内部所表示的平面区域，若“点”是“点”的充分条件，则区域的面积的最小值为_________. 参考答案： 16. 在△ABC中，则的最大值为         . 参考答案： ∵acosB﹣bcosA=c， ∴结合正弦定理，得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC， ∵C=π﹣（A+B），得sinC=sin（A+B） ∴sinAcosB﹣sinBcosA=（sinAcosB+cosAsinB） 整理，得sinAcosB=4sinBcosA，同除以cosAcosB，得tanA=4tanB 由此可得tan（A﹣B）= ∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号 ∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0 ∵+4tanB≥4 ∴tan（A﹣B）=≤，当且仅当=4tanB，即tanB=时，tan（A﹣B）的最大值为.   17. 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.下列函数：①；②；③；④其中是一阶格点函数的有                （填上所有满足题意的序号）． 参考答案： ①②④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题12分） 已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过点F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，求证：AQ⊥BQ. 参考答案： 19. 已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=1，且，，成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式 （2）设数列{}的前n项和为Tn，求证：Tn＜． 参考答案： 【考点】数列的求和． 【分析】（1）设数列{an}的公差d≠0，a1=1，且，，成等比数列．可得=×，解得d，即可得出． （2）==．利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出． 【解答】（1）解：设数列{an}的公差d≠0，a1=1，且，，成等比数列． ∴=×，解得： =a1?a9，∴（1+2d）2=1×（1+8d），d≠0，解得d=1． ∴an=1+n﹣1=n． （2）证明： ==． ∴数列{}的前n项和Tn=+++…++ =＜． ∴Tn＜． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20. 已知函数． （1）求函数的单调区间。 （2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？ 参考答案： 解：（1）由知： 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是； 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是； 当时，函数是常数函数，无单调区间。     （2）由, ∴，.          故， ∴, ∵ 函数在区间上总存在极值，∴ 函数在区间上总存在零点，     又∵函数是开口向上的二次函数，且 ∴                   由，令，则， 所以在上单调递减，所以； 由，解得； 综上得：            所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值。   21. 设函数，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．          （1）若f（x）=1－且x∈[－，]，求x；          （2）若函数y=2sin2x的图象按向量=（m，n）（|m|<）平移后得到函数y=f（x）的图象，求实数m、n的值． 参考答案： 解：（1）依题设，f（x）=2cos2x+sin2x=1+2sin（2x+）．        ……………2分 由1+2sin（2x+）=1－，得sin（2x+）=－              ．……………4分 ∵－≤x≤，∴－≤2x+≤，∴2x+=－， 即x=－．                                            ．……………6分 （2）函数y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）平移后得到函数y=2sin2（x-m）+n