湖北省荆州市监利县汪桥高级中学2023年高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在平面直角坐标系中,为坐标原点,直线与圆相交于两点,.若点在圆上,则实数
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 公比为2的等比数列{} 的各项都是正数,且 =16,则=( )
A.1 B.2 C. 4 D.8
参考答案:
A
3. 如图是某算法的程序框图,若输出的b值为32,则判断框内①应填( )
A.4? B.5? C.6? D.7?
参考答案:
B
【考点】程序框图.
【专题】算法和程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的b,a的值,当b=32,a=6时,应该不满足条件,退出循环,输出b的值为32,可得判断框内①应填a≤5.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
a=1,b=1
满足条件,b=2,a=2
满足条件,b=4,a=3
满足条件,b=8,a=4
满足条件,b=16,a=5
满足条件,b=32,a=6
此时,应该不满足条件,退出循环,输出b的值为32.
故判断框内①应填a≤5,
故选:B.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,由退出循环时a的值判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题.
4. 某市乘坐出租车的收费办法如下:
不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费(对于其中不足千米的部分,若其小于0.5千米则不收费,若其大于或等于0.5千米则按1千米收费);当车程超过4千米时,另收燃油附加费1元.
相应系统收费的程序框图如图所示,其中x(单位:千米)为行驶里程,y(单位:元)为所收费用,用[x]表示不大于x的最大整数,则图中①处应填( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】程序框图;分段函数的应用;函数模型的选择与应用.
【专题】应用题;函数的性质及应用;算法和程序框图.
【分析】根据已知中的收费标准,求当x>4时,所收费用y的表达式,化简可得答案.
【解答】解:由已知中,超过4千米的里程按每千米2元收费(对于其中不足千米的部分,若其小于0.5千米则不收费,若其大于或等于0.5千米则按1千米收费);
当车程超过4千米时,另收燃油附加费1元.
可得:当x>4时,所收费用y=12+[x﹣4+]×2+1=,
故选:D
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数模型的选择与应用,难度中档.
5. 某市重点中学奥数培训班共有14人,分为两个小组,在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示,其中甲组学生成绩的平均数是88,乙组学生成绩的中位数是89,则m+n的值是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
参考答案:
C
【考点】茎叶图.
【分析】利用平均数求出m的值,中位数求出n的值,解答即可.
【解答】解:∵甲组学生成绩的平均数是88,
∴由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7,∴m=3
又乙组学生成绩的中位数是89,∴n=9,
∴m+n=12.
故选:C.
6. 函数的反函数是
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
7. 在等差数列{an}中,,公差,若前n项和Sn取得最小值,则n的值为( )
7 8 7或8 8或9
参考答案:
C
,由得,即。即,当时,。所以要使Sn取得最小值,则有最小,选C.
8. 已知集合,则集合N的真子集个数为( )
A.3;B.4
C.7
D.8
参考答案:
B
9. 若实数x,y满足条件则z=﹣的最大值为( )
A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣1
参考答案:
C
【考点】简单线性规划.
【分析】约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图看出直线4x+3y=0平行的直线过可行域内A点时z有最大值,把C点坐标代入目标函数得答案.
【解答】解:由约束条件作可行域如图,
由z=﹣的最大值可知,4x+3y取得最大值时,
z取得最大值,
与4x+3y=0,平行的准线经过A时,即:
可得A(1,2),4x+3y取得最大值,故z最大,
即:zmax==.
故选:C.
10. 在平面直角坐标系 xOy中,设不等式组 ,表示的平面区域为D,在D内任取一整点P(横、纵坐标都是整数)测P落在区域 内的概率为
( A) (B) (C) (D)
参考答案:
【知识点】线性规划 E5
C 解析:根据可行域可知在区域D内的整点共有12个点,而落在区域内的点有5个所以概率为,所以C正确
【思路点拨】可以通过列举法写出可行域中的点,再求出概率.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设是虚数单位,则______.
参考答案:
12. 形如45132这样的数叫做“五位波浪数”,即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大,则由数字0,1,2,3,4,5,6,7可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为 .
参考答案:
721
略
13. 记集合A={(x,y)︱x2+y2≤16},集合B={(x,y)︱x+y-4≤0,(x,y)∈A}表示的平面区域分别为Ω1,Ω2.若在区域Ω1内任取一点P(x,y),则点落在区域Ω2中的概率为____.
参考答案:
如图,集合A表示的点集是圆内部(含边界),集合表示的点集是直线下方的弓形区域,,
,因此所求概率为.
14. 已知数列,满足,,(),
则_________.
参考答案:
略
15. 设,则的值为 .
参考答案:
2
16. 已知水平放置的的直观图(斜二测画法)是边长为的正三角形,则原的面积为
参考答案:
17. (5分)(2015?枣庄校级模拟)已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3,则这个长方体的外接球的表面积为 .
参考答案:
14π
【考点】: 球内接多面体;球的体积和表面积.
【专题】: 计算题.
【分析】: 用长方体的对角线的公式,求出长方体的对角线长,即为外接球的直径,从而得到外接球的半径,用球的表面积公式可以算出外接球的表面积.
解:∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3,
∴长方体的对角线长为:=
∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径
∴球半径为R=,可得球的表面积为4πR2=14π
故答案为:14π
【点评】: 本题给出长方体的长、宽、高,求长方体外接球的表面积,着重考查了长方体对角线公式和球的表面积公式,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设集合由满足下列两个条件的数列构成:①②存在实数使对任意正整数都成立.
(1) 现在给出只有5项的有限数列其中;
试判断数列是否为集合的元素;
(2)数列的前项和为且对任意正整数点在直线上,证明:数列并写出实数的取值范围;
(3)设数列且对满足条件②中的实数的最小值都有求证:数列一定是单调递增数列.
参考答案:
【测量目标】(1)分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识(概念、定理、性质和方法等),并能初步应用.
(2)分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略,解决有关数学问题.
(3)数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法,对问题进行探究,寻求数学对象的规律和联系;能正确地表述探究过程和结果,并予以证明.
【知识内容】(1)方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念.
(2)方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念.
(3)方程与代数/数列与数学归纳法/数学归纳法.
【参考答案】(1)对于数列不满足集合的条件①,数列不是集合中的元素.
对于数列,
而且,当时有显然满足集合的条件①②,故数列是集合中的元素. -------------------4分
(2)因为点在直线上,所以 ①,
当时,有 ②,
①②,得所以,当时,有
又所以
因此,对任意正整数都有所以,数列是公比为的等比数列,故
对任意正整数都有且故实数的取值范围是实数的取值范围是-------------------10分
(3)假设数列不是单递增数列,则一定存在正整数使------12分
此时,我们用数学归纳法证明:对于任意的正整数当时都有成立.
①时,显然有成立;
②假设时,
则当时,由可得从而有所以
由①②知,对任意的都有-----------------------------------------16分
显然这个值中一定有一个最大的,不妨记为于是从而与已知条件相矛盾.
所以假设不成立,故命题得证.------------------------------------------18分
19. 设不等式的解集为,且,.
(1)求的值;(2)求函数的最小值.
参考答案:
(Ⅰ)因为,且,所以,且 解得,又因为,所以 (Ⅱ)因为
当且仅当,即时取得等号,所以的最小值为
20. (本小题满分14分)
已知四棱锥的正视图是一个底边长为、腰长为的等腰三角形,图4、图5 分别是四棱锥的侧视图和俯视图.
(1)求证:;
(2)求四棱锥的侧面的面积.
参考答案:
(本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
(1)证明:依题意,可知点在平面上的正射影是线段的中点,连接,
则平面. …………… 2分
∵平面,
∴. …………… 3分
∵,平面,平面,
∴平面. …………… 5分
∵平面,
∴. …………… 6分
(2)解:依题意,在等腰三角形中,,,
在Rt△中,,…………… 7分
过作,垂足为,连接,
∵平面,平面,
∴. …………… 8分
∵平面,平面,,
∴平面. …………… 9分
∵平面,
∴. …………… 10分
依题意得. …………… 11分
在Rt△中, , …………… 12分
∴△的面积为.
∴四棱锥的侧面的面积为. …………… 14分
21. 如图,四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,∠BAD=,AB=2,CD=3,M为PC上一点,PM=2MC.