湖北省荆门市钟祥市张集中学高三数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 非零向量使得成立的一个充分非必要条件是
A. B. C. D.
参考答案:
B
要使,则共线,且方向相反,且,所以选B.
2. i为虚数单位,复数=( )
A.
2+i
B.
2﹣i
C.
i﹣2
D.
﹣i﹣2
参考答案:
考点:
复数代数形式的乘除运算.
专题:
计算题.
分析:
复数的分子、分母同乘分母的共轭复数1﹣i,化简为a+bi(a,b∈R)的形式即可.
解答:
解:因为===2﹣i
故选B.
点评:
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,同时考查了运算能力,属于基础题.
3. 已知函数是上的偶函数,且在区间是单调递增的,若,,,则下列不等式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
4. 展开式中不含项的系数的和为( )高☆考♂资♀源*网
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
参考答案:
B
5. 设函数,若不等式在[-2,+∞)上有解,则实数a的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
在上有解在上有解.
令,
则,
∵,
∴当时,,在区间上单调递减;
当时,在区间上单调递增;
∴当时,取得极小值,也是最小值,
∴,∴,故选C.
6. 设为平面,为直线,则的一个充分条件是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
7. 双曲线与抛物线相交于A,B两点,
公共弦AB恰好过它们的公共焦点F,则双曲线C的离心率为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
8. 下列说法中正确的是( )
A.若分类变量X和Y的随机变量K2的观测值k越大,则“X与Y相关”的可信程度越小
B.对于自变量x和因变量y,当x取值一定时,y的取值具有一定的随机性,x,y间的这种非确定关系叫做函数关系
C.相关系数r2越接近1,表明两个随机变量线性相关性越弱
D.若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小,则两个分类变量有关系的把握性越小
参考答案:
D
【考点】相关系数.
【分析】分别根据变量相关的定义和性质分别进行判断即可得到结论.
【解答】解:A.若分类变量X和Y的随机变量K2的观测值k越大,则“X与Y相关”的可信程度越大,∴A错误.
B.对于自变量x和因变量y,当x取值一定时,y的取值具有一定的随机性,x,y间的这种非确定关系叫做相关关系,∴B错误.
C.相关系数r2越接近1,表明两个随机变量线性相关性越强,∴C错误.
D.若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小,则两个分类变量有关系的把握性越小,∴D正确.
故选:D.
【点评】本题主要考查变量相关系数的性质,比较基础.
9. 如图1,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈(1丈=10尺), 现被风折断,尖端落在地上,竹尖与竹根的距离三尺,问折断处离地面的高为( )尺.
图1
(A)5.45 (B)4.55 (C) 4.2 (D)5.8
参考答案:
B
如图,已知AC+AB=10(尺),BC=3(尺), ,
所以,解得 ,
因此,解得 ,
故折断后的竹干高为4.55尺,∴选B.
10. 过点作直线l与圆交于A,B两点,若P为A,B中点,则直线l的方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
【分析】
由点为的中点,等价于,根据垂直关系求得直线的斜率,再根据点斜式,即可求解直线的方程,得到答案.
【详解】由题意,圆的圆心为,
若点为的中点,等价于,则,所以直线的斜率为1,
所以直线的方程为,即,故选D.
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,其中解答中熟练应用圆的弦的性质,以及直线的点斜式方程是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过点(3,0)且斜率为的直线被椭圆所截线段的中点坐标为 .
参考答案:
12. 设向量、满足:||=1,||=2,?()=0,则与的夹角是 .
参考答案:
60°
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】根据平面向量的数量积运算,求出cosθ的值,即可求出夹角θ的大小.
【解答】解:由||=1,||=2,?()=0,
∴﹣?=0,
即12﹣1×2×cosθ=0,
解得cosθ=;
又θ∈,
∴与的夹角θ是60°.
故答案为:60°.
13. 设复数,则 _______________.
参考答案:
【分析】本题考察复数运算中的模的运算,虽然简单,但是方法的选择不同也会带来不同的效果。复数的运算在高考的考核中难度较低,通常是填选的前几个基础问题,重点在于掌握基本的运算法则和复平面的理解。本题中模的运算也可以有两种手段,第一就是直接对复数进行分母实数化处理,从而得到的形式,利用处理,第二种处理方法可以利用复数除法的性质,即,以此直接求解。复数难度不大,掌握基本的方法可以直接求解,若要进行最有效最快速的求解,还需对这部分的常见性质有所掌握。
【解】
方法一:首先进行分母实数化处理,即,则,故填.
方法二:根据复数运算的除法性质,可知,其中,,故,故填.
14. 设函数,若的图象关于直线x=l对称,则a的值为_________.
参考答案:
2
15. 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2的连线互相垂直,则△PF1F2的面积为 .
参考答案:
24
考点: 椭圆的简单性质.
专题: 计算题.
分析: 根据椭圆的标准方程求出焦点坐标,利用点P与椭圆的两个焦点F1,F2的连线互相垂直以及点P在椭圆上,求出点P的纵坐标,从而计算出△PF1F2的面积.
解答: 解:由题意得 a=7,b=2 ,
∴c=5,两个焦点F1 (﹣5,0),F2(5,0),
设点P(m,n),
则 由题意得 =﹣1,+=1,
∴n2=,n=±,
则△PF1F2的面积为 ×2c×|n|=×10×=24,
故答案为:24.
点评: 本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、方程组的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,属于基础题
16. 在的展开式中常数项的系数是60,则a的值为 .
参考答案:
2.
解:Tr+1==ar,令3﹣=0,解得r=2.
∴=60,a>0,解得a=2.
故答案为: 2.
【考点】二项式系数的性质.考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
17.
对于函数,
(1)若,则 .
(2)若有六个不同的单调区间,则的取值范围为 .
参考答案:
答案:(1)7 (2)
解析: 为偶函数,当时,须有三个不同的单调区间.,,
中,或.
又两根须为正根,且.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形,
(I)求证:;
(II)设线段的中点为,在直线上是否存在一点,使得?若存在,请指出点的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由;
(III)求二面角的大小。
参考答案:
解析:解法一:
(Ⅰ)因为平面⊥平面,平面,
平面平面,
所以⊥平面
所以⊥.
因为为等腰直角三角形, ,
所以
又因为,
所以,
即⊥,
所以⊥平面。 ……………………………………4分
(Ⅱ)存在点,当为线段AE的中点时,PM∥平面
取BE的中点N,连接AN,MN,则MN∥=∥=PC
所以PMNC为平行四边形,所以PM∥CN
因为CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,
所以PM∥平面BCE ……………………………………8分
(Ⅲ)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知,EA⊥平面ABCD
作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA。从而,FG⊥平面ABCD
作GH⊥BD于G,连结FH,则由三垂线定理知,BD⊥FH
因此,∠AEF为二面角F-BD-A的平面角
因为FA=FE, ∠AEF=45°,
所以∠AFE=90°,∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF=.
FG=AF·sinFAG=
在Rt△FGH中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,
GH=BG·sinGBH=·=
在Rt△FGH中,tanFHG= =
故二面角F-BD-A的大小为arctan. ………………………………12分
解法二:
(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,
平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以AE⊥平面ABCD.
所以AE⊥AD.
因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.
设AB=1,则AE=1,B(0,1,0),D (1, 0, 0 ) ,
E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).
因为FA=FE, ∠AEF = 45°,
所以∠AFE= 90°.
从而,.
所以,,.
,.
所以EF⊥BE, EF⊥BC.
因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,
所以EF⊥平面BCE.
(Ⅱ) M(0,0,).P(1, ,0).
从而=(,).
于是
所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE,直线PM不在平面BCE内,
故PM∥平面BCE. ………………………………8分
(Ⅲ) 设平面BDF的一个法向量为,并设=(x,y,z)
=(1,1,0),
即
去y=1,则x=1,z=3,从=(0,0,3)
取平面ABD的一个法向量为=(0,0,1)
故二面角F-BD-A的大小为. ……………………………………12分
19. (本小题满分12分)
如图,四棱锥中,平面,底面为正方形,, 为的中点,
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求三棱锥的体积;
(Ⅲ)边上是否存在一点,使得平面.若存在,求的长;若不存在,说明理由.
参考答案:
(Ⅰ)证明:平面,
又∵是正方形 ∴∵
∴平面 ……………………………3分
又∵面∴ ……………………………4分
(Ⅱ)解:∵平面,
∴是三棱锥的高 ……………………………5分
∵是的中点
……………………………6分
……………………………8分
(Ⅲ)连结,取中点,连结,延长交于点,
则//平面 ……………………………9分
下面证明之
∵为的中点,是的中点,∴//, ………