湖北省荆门市胡集职业中学高二数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 有8件产品,其中3件是次品,从中任取3件,若X表示取得次品的件数,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
根据题意,
2. 设函数满足,,则时,( )
A.有极大值,无极小值
B.有极小值,无极大值
C.既有极大值又有极小值
D.既无极大值也无极小值
参考答案:
D
3. 在空间直角坐标系中,点,过点作平面的垂线,则的坐标为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60°”时,反设正确的是( )
A.假设三内角都不大于 60° B.假设三内角都大于 60°
C.假设三内角至多有一个大于 60° D.假设三内角至多有两个大于 60°
参考答案:
B
略
5. 有2个兴趣小组,甲、乙、丙三位同学各参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同.则这三位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
考点: 相互独立事件的概率乘法公式.
专题: 计算题;概率与统计.
分析: 本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是2×2×2=8种结果,满足条件的事件是这三位同学参加同一个兴趣小组有2种结果,根据古典概型概率公式得到结果.
解答: 解:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是2×2×2=8种结果,
满足条件的事件是这三位同学参加同一个兴趣小组,由于共有2个小组,则有2种结果,
根据古典概型概率公式得到P==,
故选A.
点评: 本题考查古典概型概率公式,是一个基础题,确定试验发生包含的事件数和满足条件的事件数是关键.
6. 已知复数z在复平面内对应的点为(3,4),复数z的共轭复数为,那么z?等于( )
A、5 B、﹣7 C、12 D、25
参考答案:
D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解:由题意,z=3+4i,则z? = .
故选:D.
【分析】由已知可得z,结合z?=求解.
7. 设均为单位向量,则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
C
分析:先对模平方,将等价转化为0,再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.
详解: ,因为均为单位向量,所以 a⊥b,即“”是“”充分必要条件.选C.
点睛:充分、必要条件的三种判断方法.
1.定义法:直接判断“若则”、“若则”的真假.并注意和图示相结合,例如“?”为真,则是的充分条件.
2.等价法:利用?与非?非,?与非?非,?与非?非的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
3.集合法:若?,则是的充分条件或是的必要条件;若=,则是的充要条件.
8. 已知圆的方程是,则当圆的半径最小时,圆心的坐标是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为564 cm2,则这三个正方体的体积之和为 ( )
A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3
C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3
参考答案:
A
10. 在一个2×2列联系表中,由其数据计算得x=13.01,则两个变量间有关系的可能性为( )
A.99% B.95% C.90% D.无关系
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 假设小明家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30至7:30之间把报纸送到小明家,小明爸爸离开家去工作的时间在早上7:00至8:00之间,问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是 。
参考答案:
7/8
略
12. 复数的共轭复数是 。
参考答案:
略
13. 若,则函数的最小值为 .
参考答案:
5
14. 除以的余数是____ ____.
参考答案:
54
15. 设定义在R上的函数满足:,恒成立;且其中,若,则= ▲ .
参考答案:
-10
16. 给出下列3个命题:①若,则;②若,则;③若且,则,其中真命题的序号为 ▲ .
参考答案:
17. 已知取值如下表:从所得的散点图分析,与线性相关,且,则 .
参考答案:
2.6
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB,E是PD的中点.
(1)求证:PB∥平面EAC;
(2)求证:平面PDC⊥平面PAD.
参考答案:
(1)连结交于,连结,则是的中位线,所以,
又平面,平面,
平面;
(2),
而 ,
又
19. 已知函数f(x)=2sin(x+)cosx.
(1)求f(x)的值域;
(2)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知A为锐角,f(A)=,b=2,c=3,求cos(A﹣B)的值.
参考答案:
解:(1)∵f(x)=(sinx+cosx)cosx
=sinxcosx+cos2x
=sin2x+cos2x+
=sin(2x+)+,
∵﹣1≤sin(2x+)≤1,
∴函数f(x)的值域是[,];
(2)由f(A)=sin(2A+)+=,得sin(2A+)=0,
又A为锐角,∴A=,
又b=2,c=3,
∴由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=4+9﹣2×2×3×=7,即a=,
由正弦定理=,得sinB===,
又b<a,∴B<A,
∴cosB==,
则cos(A﹣B)=cosAcosB+sinAsinB=×+×=.
考点: 余弦定理;正弦定理.
专题: 三角函数的求值.
分析: (1)f(x)解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简,再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形,整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据正弦函数的值域即可确定出f(x)的值域;
(2)由f(A)=以及第一问确定出的f(x)解析式,求出A的度数,再由b与c的值,利用余弦定理求出a的值,根据正弦定理求出sinB的值,进而确定出cosB的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值.
解答: 解:(1)∵f(x)=(sinx+cosx)cosx
=sinxcosx+cos2x
=sin2x+cos2x+
=sin(2x+)+,
∵﹣1≤sin(2x+)≤1,
∴函数f(x)的值域是[,];
(2)由f(A)=sin(2A+)+=,得sin(2A+)=0,
又A为锐角,∴A=,
又b=2,c=3,
∴由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=4+9﹣2×2×3×=7,即a=,
由正弦定理=,得sinB===,
又b<a,∴B<A,
∴cosB==,
则cos(A﹣B)=cosAcosB+sinAsinB=×+×=.
点评: 此题考查了正弦、余弦定理,两角和与差的正弦、余弦函数公式,以及正弦函数的值域,熟练掌握定理及公式是解本题的关键
20. 某酱油厂对新品种酱油进行了定价,在各超市得到售价与销售量的数据如下表:
单价x(元)
5
5.2
5.4
5.6
5.8
6
销量y(瓶)
9.0
8.4
8.3
8.0
7.5
6.8
(1)求售价与销售量的回归直线方程;( ,)
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/瓶,为使工厂获得最大利润(利润=销售收入成本),该产品的单价应定为多少元?
相关公式:,.
参考答案:
(1).(2)6.75元
【分析】
(1)根据回归直线方程计算公式,计算出回归直线方程.(2)求得利润的表达式,利用二次函数的性质,求得为使工厂获得最大利润(利润=销售收入成本),该产品的单价.
【详解】解:(1)因为,,
所以,,
从而回归直线方程为.
(2)设工厂获得的利润为元,
依题意得
当时,取得最大值
故当单价定为6.75元时,工厂可获得最大利润.
【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算,考查实际应用问题,考查运算求解能力,属于中档题.
21. (12分)(2014?湖南)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立.
(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(Ⅱ)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.
参考答案:
【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.
【专题】概率与统计.
【分析】(Ⅰ)利用对立事件的概率公式,计算即可,
(Ⅱ)求出企业利润的分布列,再根据数学期望公式计算即可.
【解答】解:(Ⅰ)设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件,则事件B为一种新产品都没有成功,
因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和.
则P(B)=,
再根据对立事件的概率之间的公式可得P(A)=1﹣P(B)=,
故至少有一种新产品研发成功的概率为.
(Ⅱ)由题可得设企业可获得利润为X,则X的取值有0,120,100,220,
由独立试验的概率计算公式可得,
,
,
,
,
所以X的分布列如下:
X
0
120
100
220
P(x)
则数学期望E(X)==140.
【点评】本题主要考查了对立事件的概率,分布列和数学期望,培养学生的计算能力,也是近几年高考题目的常考的题型.
22. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥中,,
平面,点是的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:;
参考答案:
略