湖北省荆州市石首新厂高级中学2023年高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (5分)函数的定义域是()
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点: 函数的定义域及其求法.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 要使函数的解析式有意义,自变量x须满足1﹣2x≥0,解不等式后,表示为区间形式,可得答案.
解答: 要使函数的解析式有意义
自变量x须满足1﹣2x≥0
即x≤
故函数的定义域为
故选C
点评: 本题考查的知识点是函数的定义域及其求法,其中根据使函数的解析式有意义的原则,构造不等式是解答的关键.
2. (5分)设不等式组,表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()
A. B. C. D.
参考答案:
D
考点: 二元一次不等式(组)与平面区域;几何概型.
专题: 概率与统计.
分析: 本题属于几何概型,利用“测度”求概率,本例的测度即为区域的面积,故只要求出题中两个区域:由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可.
解答: 其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形,面积为S1=4,
满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心,以2为半径的圆外部,
面积为=4﹣π,
∴在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=
故选:D.
点评: 本题考查几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到,本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值.
3. 已知数列{an}前n项和为,则的值( )
A. 13 B. -76 C. 46 D. 76
参考答案:
B
【分析】
由已知得S15=﹣4×7+4×15﹣3=29,S22=﹣4×11=﹣44,S31=﹣4×15+4×31﹣3=61,由此能求出S15+S22﹣S31的值.
【详解】∵Sn=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+(﹣1)n+1(4n﹣3),
∴S15=﹣4×7+4×15﹣3=29,
S22=﹣4×11=﹣44,
S31=﹣4×15+4×31﹣3=61,
∴S15+S22﹣S31=29﹣44﹣61=﹣76.
故选:B.
【点睛】本题考查数列的前n项和的求法,解题时要认真审题,注意数列的前n项和公式的合理运用.
4. 正弦函数f(x)=sinx图象的一条对称轴是( )
A.x=0 B. C. D.x=π
参考答案:
C
【考点】正弦函数的图象.
【专题】方程思想;定义法;三角函数的图像与性质.
【分析】根据三角函数的对称性进行求解即可.
【解答】解:f(x)=sinx图象的一条对称轴为+kπ,k∈Z,
∴当k=0时,函数的对称轴为,
故选:C.
【点评】本题主要考查三角函数的对称性,根据三角函数的对称轴是解决本题的关键.
5. 在中,,则A等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
6. 已知,,且,若不等式恒成立,则实数a的范围是( )
A. (-∞,12] B. (-∞,14] C. (-∞,16] D. (-∞,18]
参考答案:
D
【分析】
将已知等式整理为,则,利用基本不等式求得的最小值,则,从而得到结果.
【详解】由得:,即
, ,
(当且仅当,即时取等号)
(当且仅当时取等号)
本题正确选项:
【点睛】本题考查恒成立问题的求解,关键是能够利用基本不等式求得和的最小值.
7. 集合M={α=k,k∈Z}中,各角的终边都在( )
A.轴正半轴上, B.轴正半轴上,
C. 轴或 轴上, D. 轴正半轴或 轴正半轴上
参考答案:
C
8. 若将函数的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
试题分析:由题意得,将函数的图象向左平移个单位长度,得到,由,得,即平移后的函数的对称轴方程为,故选C.
考点:三角函数的图象与性质.
【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质,着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解,通过将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的解析式,即可求解三角函数的性质,同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力.
9. 若向量,,满足,,若,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 下列函数中,在区间上为增函数且以为周期的函数是
A、 B、 C、 D、 .
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知两点P1(-1,-6)、P2(3,0),点P(,y)分有向线段所成的比为λ,则λ=____________.
参考答案:
-
12. 集合{1,2,3}的非空子集共有__个.
参考答案:
7
【分析】
集合{1,2,3}共三个元素,故用元素个数为的集合的非空子集个数为可得.
【详解】由元素个数为的集合的非空真子集个数为得,集合{1,2,3}的非空子集共有个.
故答案为:7
【点睛】本题主要考查了元素个数为的集合的非空真子集个数为,属于简单题型.
13. 已知点,点满足,则的最小值是 .
参考答案:
20
略
14. 函数y=cosx+cos(x+)的最大值是 .
参考答案:
略
15. 已知,,则cosα= .
参考答案:
【考点】GP:两角和与差的余弦函数.
【分析】先确定α+的范围,求得cos(α+)的值,进而利用余弦的两角和公式求得答案.
【解答】解:∵,,
∴∈(﹣,),
∴cos()==,
∴cosα=cos(α+﹣)=cos(α+)cos+sin(α+)sin==.
故答案为:.
16. 函数的定义域是 .
参考答案:
(1,5]
17. 若幂函数f(x)=xα(α为常数)的图象恒过定点A,直线恒过定点B,则直线AB的倾斜角是 .
参考答案:
150°
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【分析】求出A、B的坐标,从而求出直线AB的斜率即可.
【解答】解:幂函数f(x)=xα(α为常数)的图象恒过定点A,
则A(1,1),
直线恒过定点B,
则y﹣1﹣=k(x+2),故B(﹣2,1+),
故直线AB的斜率k==﹣,
故直线AB的倾斜角是150°,
故答案为:150°.
【点评】本题考查了幂函数的性质,考查直线方程问题,是一道基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. ,向量
.
(1)求角的大小; (2)若,求的面积.
参考答案:
19、(1) ∵,∴…………(得2分)
即, ………………………………………………(得2分)
即……(得1分) 或 ……………………………………(得1分)
(2) ①若时,由可得…………(得1分)
∴…………………………………………………………………(得2分)
19. 已知函数
(1)画出函数的图像;
(2)写出函数的单调区间和值域.
参考答案:
略
20. 已知关于x的函数f(x)=x2﹣2ax+2.
(1)当a≤2时,求f(x)在[,3]上的最小值g(a);
(2)如果函数f(x)同时满足:
①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数;
②在函数的定义域内存在区间[p,q],使得函数在区间[p,q]上的值域为[p2,q2].则我们称函数f(x)是该定义域上的“闭函数”.
(i)若关于x的函数y=+t(x≥1)是“闭函数”,求实数t的取值范围;
(ii)判断(1)中g(a)是否为“闭函数”?若是,求出p,q的值或关系式;若不是,请说明理由.
参考答案:
【考点】二次函数的性质.
【分析】(1)对于函数f(x)=x2﹣2ax+2=(x﹣a)2+2﹣a2,根据对称轴,分类讨论即可,
(2)(i)据和谐函数的定义,列出方程组,可得p2,q2为方程+t=x的二实根,再由二次方程实根的分布,即可得到所求t的范围
(ii)由新定义,假设g(a)为“和谐函数”,讨论p,q的范围,通过方程的解即可判断
【解答】解:(1)函数f(x)=x2﹣2ax+2=(x﹣a)2+2﹣a2,其对称轴方程为x=a,
当a≤时,f(x)在[,3]上单调递增,其最小值为g(a)=f()=﹣;
当≤a≤2时,f(x)在[,3]上的最小值为g(a)=f(a)=2﹣a2;
函数f(x)=x2﹣2ax+2在[,3]上的最小值g(a)=
(2)(i)∵y=+t在[1,+∞)递增,
由闭函数的定义知,该函数在定义域[1,+∞)内,
存在区间[p,q](p<q),使得该函数在区间[p,q]上的值域为[p2,q2],所以p≥1, ,
∴p2,q2为方程+t=x的二实根,
即方程x2﹣(2t+1)x+t2+1=0在[1,+∞)上存在两个不等的实根且x≥t恒成立,
令u(x)=x2﹣(2t+1)x+t2+1,
∴,∴,
解得<t≤1
∴实数t的取值范围(,1].
(ii)对于(1),易知g(a)在(﹣∞,2]上为减函数,
①若p<q≤,g(a)递减,若g(a)为“闭函数”,
则,
两式相减得p+q=,这与p<q≤矛盾.
②<p<q≤2时,若g(a)为“闭函数”,则
此时p2+q2=2满足条件的p,q存在,
∴<p<q≤2时,使得g(a)为“闭函数”p,q存在,
③p≤<q≤2时,若g(a)为“闭函数”,则,
消去q得9p2﹣6p+1=0,即(3p﹣1)2=0
解得p=此时,q=<2,且p2+q2=2
∴p=<q≤2时,使得g(a)为“闭函数”p,q存在,
综上所述,当p,q满足时,g(a)为“闭函数”
21. 已知函数f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16,
(1)求不等式g(x)<0的解集;
(2)若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
解:(1)g(x)=2x2-4x-16<0,∴(2x+4)(x-4)<0,∴-22时,f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,
∴x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,即x2-4x+7≥m(x-1).
∴对一切x>2,均有不等式≥m成立.
而=(x-1)+-2≥2-2=2(当x=3时等号成立).
∴实数m的取值范围是(-∞,2]
22. 设函数φ(x)=a2x﹣ax(a>0,a≠1).
(1)求函数φ(x)在[﹣2,2]上的最大值;
(2)当a=时,φ(x)≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2,2]及m∈[﹣1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;二次函数的性质.
【分析】(1)利用指数函数的单调性,分a>1与0<a<1两种情况讨论,即可求得函数φ(x)在[﹣2,2]上的最大值;
(2)当a=时,φ(x)≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2,2]及m∈[﹣1,1]恒成