湖北省荆门市京山县永兴中学高三数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若a,b均为实数,且方程无实根,则函数是增函数的概率是
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 函数的零点个数为
A.0 B.1
C.2 D.3
参考答案:
B
略
3. 已知a=log34,b=logπ3,c=50.5,则a,b,c的大小关系是( )
A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c
参考答案:
D
【考点】对数值大小的比较.
【分析】利用指数函数与对数函数的运算性质比较三个数与1和2的大小得答案.
【解答】解:∵a=log34>1,b=logπ3<1,
c=50.5=,
而a=log34<log39=2,
∴c>a>b.
故选:D.
4. 已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,2a7-a8=5,则S11为
A.110 B.55
C.50 D.不能确定
参考答案:
B
∵数列{}为等差数列,2a7-a8=5,∴,
可得a6=5,∴S11===55.
故选:B.
5. 在等差数列中,,其前项和为,若,则的值等于( )
A.-2012 B.-2013 C.2012 D.2013
参考答案:
B
,,所以,,所以,所以,选B.
6. 执行右面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足
(A)y=2x (B)y=3x
(C)y=4x (D)y=5x
参考答案:
C
试题分析:当时,,不满足;
,不满足;,满足;输出,则输出的的值满足,故选C.
7. 如图是用二分法求方程近似解的程序框图,其中,判断框内可以填写的内容有如下四个选择:①②③
④,其中正确的是( )
A.①③ B.②③
C.①④ D.②④
参考答案:
C
8. 若、为实数,则“<1”是“0<<”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
9. 已知集合,集合,则集合A∩B=
A. {1,2,4} B. {2,4} C. {0,2} D. {-1,0,1,2,4,6}
参考答案:
C
10. 设函数其中表示不超过的最大整数,如=-2,=1,=1,若直线与函数y=的图象恰有三个不同的交点,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
作出函数的图像,又易知过定点(-1,0).由图可知,当直线介于直线与直线之间时,其与函数y=的图象恰有三个不同的交点.易知,,由于两点都不在函数y=的图象上,所以直线可与直线重合,但不得与直线重合,即.故选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,为单位向量,且夹角为60°,若=+3, =2,则在方向上的投影为 .
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】运用向量数量积的定义和性质:向量的平方即为模的平方,再由向量投影的定义可得在方向上的投影为,计算即可得到所求值.
【解答】解:,为单位向量,且夹角为60°,
可得?=||?||?cos60°=1×1×=,
若=+3, =2,
则?=22+6?=2+6×=5,
||====,
则在方向上的投影为==.
故答案为:.
12. 一个高为2的圆柱,底面周长为,该圆柱的表面积为
参考答案:
底面圆的周长,所以圆柱的底面半径,所以圆柱的侧面积为
两个底面积为。,所以圆柱的表面积为。
13. 若存在实数满足,则实数的取值范围是 _.
参考答案:
略
14. 观察下列不等式:
①;
②;
③;
照此规律,第五个不等式为 .
参考答案:
试题分析:左边分子是,右边是,故猜想.
考点:合情推理与演绎推理.
15. 直线与抛物线所围图形的面积等于_____________
参考答案:
16. 已知
A. B. C. D.
参考答案:
D
17. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果为__________.
参考答案:
时,,继续,
时,,继续,
时,,停止,
输出.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (2017?宁城县一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acosC﹣c=2b.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若c=,角B的平分线BD=,求a.
参考答案:
【考点】正弦定理.
【分析】(Ⅰ)由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的条件,求出cosA的值,由A的范围和特殊角的三角函数值求出角A的值;
(Ⅱ)由条件和正弦定理求出sin∠ADB,由条件求出∠ADB,由内角和定理分别求出∠ABC、∠ACB,结合条件和余弦定理求出边a的值.
【解答】解:(Ⅰ)由2acosC﹣c=2b及正弦定理得,
2sinAcosC﹣sinC=2sinB,…(2分)
2sinAcosC﹣sinC=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC,
∴﹣sinC=2cosAsinC,
∵sinC≠0,∴cosA=,
又A∈(0,π),∴A=;…(6分)
(Ⅱ)在△ABD中,c=,角B的平分线BD=,
由正弦定理得,
∴sin∠ADB===,…(8分)
由A=得∠ADB=,∴∠ABC=2()=,
∴∠ACB==,AC=AB=
由余弦定理得,a2=BC2═AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA
=2+2﹣2×=6,
∴a=…(12分)
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理,内角和定理,以及两角和的正弦公式等应用,考查转化思想,化简、变形能力.
19. 在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1的参数方程为(θ为参数),曲线 C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;
(2)设P为曲线C1上一点,Q为曲线 C2上一点,求|PQ|的最小值.
参考答案:
【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)利用参数方程与普通方程,极坐标方程与直角坐标方程互化的方法,可得曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;
(2)利用参数方法,求|PQ|的最小值.
【解答】解:(1)由曲线C1的参数方程为(θ为参数),消去参数θ得,曲线C1的普通方程得+=1.
由ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0得,曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣4=0…
(2)设P(2cosθ,2sinθ),则点P到曲线C2的距离为d=
=,…
当cos(θ+45°)=1时,d有最小值0,所以|PQ|的最小值为0…
20. 为迎接2012年伦敦奥运会,在著名的海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛,其中甲、乙两名运动员为争取最后一个参赛名额进行的7轮比赛的得分如茎叶图所示:
(I)若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选3个不低于80且不高于90的得分,求甲的三个得分与其7轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率;
(Ⅱ)若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于80且不高于90的得分中任选1个,求甲、乙两名运动员得分之差的绝对值的分布列与期望。
参考答案:
略
21. 长方形ABCD中,,沿对角线AC将折起,使D点到P点的位置,且二面角P-AC-B为直二面角。
(1)求PB长;
(2)求三棱锥P-ABC外接球的表面积;
(3)求二面角A-PB-C的平面角的余弦值。
参考答案:
(1);(2);(3)
(1)过P作PE⊥AC交AC与E,连接BE,则∠PEB为直角,而PE=|AB|×|BC|÷|AC|=,又|BE|=,所以|PB|=; ……………………3分
(2)AC中点即为外接球球心,球半径R=2,; ……………………6分
(3)在平面图中,过D作DE垂直于AC,垂足为E,延长交AB于H,……,以EH为X轴,EC为Y轴,EP为Z轴建立空间直角坐标系(如图), ………………7分
易得: ………………9分
设平面PAB的法向量为:
,则,
令z=1,得 …………………………11分
设平面PBC的法向量为:
,则,
令x=1,得 …………………………13分
设二面角A-PB-C的平面角为,则 …………14分
22. 如图,在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,点E是线段PC的中点.
(1)求异面直线AP与BE所成角的大小;
(2)若点F在线段PB上,使得二面角F-DE-B的正弦值为,求的值.
参考答案:
(1);(2).
因为PD=DC,所以DA=DC=DP,不妨设DA=DC=DP=2,
则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0).
因为E是PC的中点,所以E(0,1,1).
所以=(-2,0,2),=(-2,-1,1),
所以cos<,>==,
从而<,>=.
因此异面直线AP与BE所成角的大小为. ……………………… 4分
考点:用向量法求异面直线所成的角,二面角.