湖北省荆州市胡集中学2023年高二数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知数列{an},如果是首项为1公比为2的等比数列,那么an=( )
A.2n+1-1 B.2n-1 C.2n-1 D.2n +1
参考答案:
B
略
2. 已知函数满足对任意的实数都有成立,则实数的取值范围为( )
A.(-∞,2) B. C. (-∞,2] D.
参考答案:
B
3. 设,则数列的最大项为
A. 5 B. 11 C. 10或11 D. 36
参考答案:
D
4. 若(1+x+x2)1000的展开式为a0+a1x+a2x2+…a2000x2000,则a0+a3+a6+a9+…+a1998的值为
(A)3333 (B)3666 (C)3999 (D)32001
参考答案:
C
5. 某地7个贫困村中有3个村是深度贫困,现从中任意选3个村,下列事件中概率等于的是( )
A. 至少有1个深度贫困村 B. 有1个或2个深度贫困村
C. 有2个或3个深度贫困村 D. 恰有2个深度贫困村
参考答案:
B
【分析】
用表示这3个村庄中深度贫困村数,则服从超几何分布,故,分别求得概率,再验证选项.
【详解】用表示这3个村庄中深度贫困村数,服从超几何分布,
故,
所以,
,
,
,
.
故选:B
【点睛】本题主要考查超几何分布及其应用,属于基础题.
6. 过直线上的一点作圆的两条切线,,当直线,关于对称时,它们之间的夹角为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
设过直线上一点作圆切线,
圆心.
∵直线,关于对称,
∴直线与垂直,
点到直线的距离,
又∵圆的半径为,
,与直线的夹角均为,
∴与夹角为.
故选.
7. 在抛物线上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则的值为( )
A. B.1 C.4 D.2
参考答案:
D
略
8. 下列四组中的,,表示同一个函数的是( ).
A.=1,= B.=,=2lgx
C.=x2,= D.=,=
参考答案:
D
略
9. ,,则t1,t2,t3的大小关系为( )
A.t2<t1<t3 B.t1<t2<t3 C.t2<t3<t1 D.t3<t2<t1
参考答案:
A
【考点】67:定积分.
【分析】利用微积分基本定理即可得出大小关系.
【解答】解:t1=dx==, ==ln2, ==e2﹣e.
∴t2<t1<t3,
故选:A.
10. 已知数列为等比数列,若,则等于
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 把53名同学分成若干小组,使每组至少一人,且任意两组的人数不等,则最多分成 个小组.
参考答案:
9
∵,
又,
∴,
即将8个人从第二组开始每组分1人,从而得到第一组1人,第二组3人,第三组4人,……,第九组10人,由此可得至多可以分为9个组.
12. 已知的三边成等差数列,且,则的最大值是 ▲ .
参考答案:
.
13. 三棱柱中,若°,,则异面直线 与所成的角等于 。
参考答案:
600
14. 若等比数列{an}满足a2a4=,则a1aa5=________.
参考答案:
15. 已知函数满足: 对任意正数,有,且.
请写出一个满足条件的函数,则这个函数可以写为= (只需写出一个函数即可).
参考答案:
略
16. 设数列的前项和为,则 .
参考答案:
1007
17. 若函数f(x)=在区间(0,2)上有极值,则a的取值范围是 .
参考答案:
(﹣1,1)
求出函数的导数,求出函数的极值点,得到关于a的不等式,解出即可.
解:f′(x)=,
令f′(x)>0,解得:x<a+1,
令f′(x)<0,解得:x>a+1,
故f(x)在(﹣∞,a+1)递增,在(a+1,+∞)递减,
故x=a+1是函数的极大值点,
由题意得:0<a+1<2,解得:﹣1<a<1,
故答案为:(﹣1,1).
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆的长轴为4,短轴为2.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线与椭圆交于两点,若点是线段的中点,求直线的方程.
参考答案:
(Ⅰ)因为,,所以 ,,
则椭圆方程.
(Ⅱ)因为,得,
又因为,,解得:.
,
则
直线方程.
19. 如图1,已知四边形BCDE为直角梯形,∠B=90°,BE∥CD,且BE=2CD=2BC=2,A为BE的中点,将△EDA沿AD折到△PDA位置(如图2),使得PA⊥平面ABCD,连接PC、PB,构成一个四棱锥P﹣ABCD.
(Ⅰ)求证AD⊥PB;
(Ⅱ)求二面角B﹣PC﹣D的大小.
参考答案:
【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(Ⅰ)推导出ABCD为平行四边形,AD∥BC,AD⊥BE,AD⊥AB,AD⊥PA,从而AD⊥平面PAB,由此能证明AD⊥PB.
(Ⅱ)以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的大小.
【解答】(Ⅰ)证明:在图1中,∵AB∥CD,AB=CD,
∴ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,
∵∠B=90°,∴AD⊥BE,
当△EDA沿AD折起时,AD⊥AB,AD⊥AE,即AD⊥AB,AD⊥PA,
又AB∩PA=A,∴AD⊥平面PAB,
又∵PB?平面PAB,∴AD⊥PB.
(Ⅱ)解:①以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),
=(1,1,﹣1),=(0,1,0),=(1,0,0),
设平面PBC的法向量为=(x,y,z),
则,取z=1,得=(1,0,1),
设平面PCD的法向量=(a,b,c),
则,取b=1,得=(0,1,1),
设二面角B﹣PC﹣D的大小为θ,
则cosθ=﹣=﹣,∴θ=120°.
∴二面角B﹣PC﹣D的大小为120°.
20. (本小题满分12分)已知数列的前项n和为且有,
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令求数列的前项n和.
参考答案:
(1)由得)……………2分
数列是以2为首项为公比的等比数列
=………………………………………………5分
(2) …………………………………………6分
①……………8分
②
①-②得
=…………………………11分
………………12分
21. (7分)已知命题命题若命题是真命题,求实数的取值范围.
参考答案:
略
22. (本小题满分10分)过点且平行于直线的直线与两坐标轴围成
的三角形面积为,求的值.
参考答案:
解析:由题意知,即,又过点且平行于直线
的直线方程可写为,此直线与轴的交点为,与轴的交
点为,由已知条件,得,解得.
略