湖北省荆门市李市中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 给出下列结论:①命题“?x∈R,sinx≠1”的否定是“?x∈R,sinx=1”;
②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件;
③数列{an}满足“an+1=3an”是“数列{an}为等比数列”的充分必要条件.
其中正确的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
参考答案:
A
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】利用命题的否定判断①的正误;充要条件判断②的正误;等比数列的定义判断③的正误.
【解答】解:对于①,命题“?x∈R,sinx≠1”的否定是“?x∈R,sinx=1”;满足命题的否定形式,所以①正确.
对于②,命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件;前者能够说明后者成立,sinα=成立则α=不一定成立,所以②正确;
对于③,数列{an}满足“an+1=3an”是“数列{an}为等比数列”的充分必要条件错误.例如:数列是常数列{0},则满足“an+1=3an”,数列不是等比数列,所以③不正确;
故选:A.
2. 奇函数上的解析式是的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
3. 若双曲线的右支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为,则a+b 的值是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
答案:B
错解:C
错因:没有挖掘出隐含条件
4. 已知命题:,则
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
5. 把11化为二进制数为( )
A.1011(2) B. 11011(2) C. 10110(2) D.110(2)
参考答案:
A
略
6. 三个数、、的大小顺序是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
7. 如图,在△ABC中,点D,E是线段BC上两个动点,且,则的最小值为
A. B.2 C. D.
参考答案:
D
8. 设实数x,y满足条件,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 12,则+的最小值为( )
A. B. C. D.4
参考答案:
A
【考点】简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数可得6a+8b=12,即.然后利用“1”的代换,结合基本不等式求得最值.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
联立,解得A(6,8),
化目标函数z=ax+by(a>0,b>0)为,
由图可知,当直线为过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为6a+8b=12.
∴.
则+=()()=.
当且仅当a=b=时上式等号成立.
故选:A.
9. 复数为虚数单位)的共轭复数 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 如右图,四棱锥-的底面为正方形,,则下列结论中不正确的是( )
A. B. 与所成的角等于与所成的角
C. D. 与所成的角等于与所成的角
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如果关于的不等式和的解集分别为和,那么称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式与不等式
为对偶不等式,且,则=_______________.
参考答案:
12. 设m是常数,若点F(0,5)是双曲线的一个焦点,则m= .
参考答案:
16
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】根据双曲线的焦点坐标判断双曲线的焦点位置是解决本题的关键,利用双曲线标准方程中的分母与焦点非零坐标的关系,列出关于m的方程,通过解方程求出m的值.
【解答】解:由于点F(0,5)是双曲线的一个焦点,
故该双曲线的焦点在y轴上,从而m>0.
从而得出m+9=25,解得m=16.
故答案为:16.
13. 已知数列{an},“对任意的n∈N*,点Pn(n,an)都在直线y=3x+2上”是“{an}为等差数列”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
略
14. 在△ABC中,分别为三个内角A , B ,C所对的边,设向量,若,则角 A 的大小为
参考答案:
60
15. 平面上三条直线,如果这三条直线将平面划分为六部分,则实数的取值集合为 .
参考答案:
16. 将一个半径为5的水晶球放在如图所示的工艺架上,支架是由三根金属杆PA、PB、PC组成,它们两两成600角。则水晶球的球心到支架顶点P的距离是 ___________________。
参考答案:
略
17. 从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间[55,65),[65,75),[75,85]内的频率之比为4:2:1.若将频率视为概率,从该企业生产的这种产品中随机抽取3件,记这3件产品中质量指标值位于区间[45,75)内的产品件数为X,则X数学期望为 .
参考答案:
1.8
【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差.
【分析】求出产品指标落在各区间的产品个数,得出一件产品的质量指标落在区间[45,75)内的概率,利用二项分布的数学期望公式计算.
【解答】解:质量指标落在[55,85]的产品件数为100×[1﹣(0.004+0.012+0.019+0.030)×10]=35,
∴质量指标落在[55,65),[65,75),[75,85]内的产品件数分别为20,10,5,
又质量指标落在[45,55]的产品件数为100×0.030×10=30,
∴质量指标值位于区间[45,75)内的产品件数为30+20+10=60,
∴从该企业生产的这种产品中随机抽取1件,这件产品质量指标值位于区间[45,75)内的概率为=0.6.
∴X~B(3,0.6),
∴X的数学期望为3×0.6=1.8.
故答案为:1.8.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题8分)在数1和100之间插入个实数,使得这个数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记作,再令.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设求数列的前项和.
参考答案:
(I)设构成等比数列,其中则
①, ②
①×②并利用
(II)由题意和(I)中计算结果,知
另一方面,利用
得所以
略
19. (10分)已知数列。
(1)求;
(2)试归纳出该数列的通项公式。
参考答案:
(1)
(2)
20. 在等比数列中,.
(Ⅰ)求数列通项公式;
(Ⅱ)若,数列的前项和为,且,求的值.
参考答案:
解:(Ⅰ)设等比数列的公比为,则
解之,得.
∴.
(Ⅱ).
∵,
∴是首项为,公差为2的等差数列.
∴.
∴,∴或(舍去).
因此,所求.
略
21. 在△ABC中,角A、B、C、所对的边分别为a、b、c,且asinB﹣bcosA=0,
(1)求角A的大小;(2)若a=1,求△ABC周长的最大值.
参考答案:
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)由已知利用正弦定理得: sinAsinB=sinBcosA,结合sinB≠0,利用同角三角函数基本关系式可求tanA=,结合范围0<A<π,即可得解A的值.
(2)由余弦定理,平方和公式可得bc=,结合基本不等式可得b+c≤+(当且仅当b=c时取等号),即可得解.
【解答】(本题满分为12分)
解:(1)asinB﹣bcosA=0,即为asinB=bcosA,
代入正弦定理得: sinAsinB=sinBcosA,…
又0<B<π,sinB≠0,
∴sinA=cosA,即tanA=,…
又0<A<π,
∴A=.…
(2)由余弦定理得cosA=,即cos=,
化简得, bc+1=b2+c2,…
∵b2+c2=(b+c)2﹣2bc,
∴bc+1=(b+c)2﹣2bc,
∴bc=,…
∵bc≤()2,
∴≤,当且仅当b=c时取等号成立,
解得(b+c)2≤4(2+)=8+4=(+)2,
∴b+c≤+(当且仅当b=c时取等号),…
∴a+b+c≤1++,(当且仅当b=c时取等号),
∴△ABC周长的最大值为1++.…
22. 设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2时取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)求曲线f(x)在x=0处的切线方程.
参考答案:
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数的运算;利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)由已知得f′(x)=6x2+6ax+3b,函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2时取得极值,可得,由此能求出a,b的值.
(2)确定切线的斜率,切点坐标,即可求曲线f(x)在x=0处的切线方程.
【解答】解:(1)∵函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c,
∴f′(x)=6x2+6ax+3b,
∵函数f(x)在x=1及x=2取得极值,∴f′(1)=0,f′(2)=0.
即,
解得a=﹣3,b=4;
(2)由(1)得f(x)=2x3﹣9x2+12x+8,f′(x)=6x2﹣18x+12,
∴f(0)=0,f′(0)=12.∴切线的斜率k=12.切点为(0,8)
由直线方程的点斜式得切线方程为:y﹣8=12x,即12x﹣y+8=0.