湖北省荆州市章庄铺中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若点(a,b)在直线 b
上.则角C的值为
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
2. 已知复数,的共轭复数为则,则( )
A. B. C. D. 0
参考答案:
B
,所以。
3.
参考答案:
A
由题意知,对称轴x=1-a≥4,∴a≤-3.
4. 已知函数的最小正周期为,且其图象向右平移个单位后得到函数的图象,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. 过抛物线y2=4x的焦点F且斜率为的直线交抛物线于A,B两点(xA>xB),则=( )
A. B. C.3 D.2
参考答案:
D
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】设出A、B坐标,利用抛物线焦半径公式求出|AB|,结合抛物线的性质x1x2=2,求出x1=2,x2=,然后求比值即可.
【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则斜率为,sinα=
|AB|=x1+x2+p=,
∴x1+x2==,
又x1x2=2可得x1=2,x2=,
∴==2.
故选D.
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的简单性质,特别是焦点弦问题,解题时要善于运用抛物线的定义解决问题.
6. 已知定义域为的函数满足:(1)对任意,恒有成立;(2)当时,.给出以下结论:
①对任意,有;
②对任意,不等式恒成立;
③存在,使得;
④“函数在区间上单调递减”的充要条件是存在,使得
.
其中所有正确结论的序号为
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④
参考答案:
C
略
7. 某几何体的三视图如图所示,若这个几何体的顶点都在球O的表面上,则球O的表面积是( )
A.2π B.4π C.5π D.20π
参考答案:
C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】由已知中的三视图可得:该几何体为三棱锥,其外接球相当于以俯视图为底面,高为1的三棱柱的外接球,进而得到答案.
【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体为三棱锥,
其外接球相当于以俯视图为底面,高为1的三棱柱的外接球,
底面的外接圆半径r=1,
球心到底面的距离d=,
故几何体的外接球半径,
故几何体的外接球表面积为:S=4πR2=5π,
故选:C
【点评】本题考查的知识点是球内接多面体,球的体积和表面积,简单几何体的三视图,难度中档.
8. 设是直线,a,β是两个不同的平面
A. 若∥a,∥β,则a∥β B. 若∥a,⊥β,则a⊥β
C. 若a⊥β,⊥a,则⊥β D. 若a⊥β, ∥a,则⊥β
参考答案:
B
根据线面垂直的判定和性质定理可知,选项B正确。
9. 已知,则的值为
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 已知函数,则下列判断中正确的是( )
A.奇函数,在R上为增函数 B.偶函数,在R上为增函数
C.奇函数,在R上为减函数 D.偶函数,在R上为减函数
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数,,则的最小值是 .
参考答案:
∵,∴≥2=2,当且仅当,即x=时,等号成立,故y的最小值是2
12. 设向量的夹角为,且,则 .
参考答案:
13. 我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”.已知F1、F2是一对“黄金搭档”的焦点,P是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是 .
参考答案:
考点:
双曲线的简单性质.
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
设F1P=m,F2P=n,F1F2=2c,由余弦定理4c2=m2+n2﹣mn,设a1是椭圆的长半轴,a1是双曲线的实半轴,由椭圆及双曲线定义,得m+n=2a1,m﹣n=2a1,由此能求出结果.
解答:
解:设F1P=m,F2P=n,F1F2=2c,
由余弦定理得(2c)2=m2+n2﹣2mncos60°,
即4c2=m2+n2﹣mn,
设a1是椭圆的实半轴,a2是双曲线的实半轴,
由椭圆及双曲线定义,得m+n=2a1,m﹣n=2a2,
∴m=a1+a2,n=a1﹣a2,
将它们及离心率互为倒数关系代入前式得a12﹣4a1a2+a12=0,
a1=3a2,e1?e2==1,
解得e2=.
故答案为:.
点评:
本题考查双曲线和椭圆的简单性质,解题时要认真审题,注意正确理解“黄金搭档”的含义.
14. 若一个几何体由正方体挖去一部分得到,其三视图如图所示,则该几何体的体积为 .
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积.
【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥得到的组合体,分别计算他们的体积,相减可得答案.
【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥得到的组合体,
正方体的体积为:2×2×2=8,
四棱锥的体积为:×2×2×2=,
故组合体的体积V=8﹣=,
故答案为:
【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积,棱锥的体积和表面积,简单几何体的三视图,难度中档.
15. 现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有____种.
参考答案:
180
【分析】
由分步计数原理计算可得答案.
【详解】根据题意,分4步进行分析:
对于A部分,有5种颜色可选,即有5种情况;
对于B部分,与A部分有公共边,有4种颜色可选,即有4种情况;
对于C部分,与A、B部分都有公共边,有3种颜色可选,即有3种情况;
对于D部分,与A、C部分都有公共边,有3种颜色可选,即有3种情况;
则不同的着色方法有5×4×3×3=180种
16. 已知函数则=
参考答案:
17. 函数()的反函数是 .
参考答案:
,
由得,所以。当时,,即,()。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆(x﹣1)2+y2=1的圆心,过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求线段MN长的最大值,并求此时点P的坐标.
参考答案:
考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
专题:计算题;综合题.
分析:(I)根据圆方程可求得圆心坐标,即椭圆的右焦点,根据椭圆的离心率进而求得a,最后根据a,b和c的关系求得b,则椭圆方程可得.
(II)P(x0,y0),M(0,m),N(0,n),把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标,进而可推断x0的范围,把直线PM的方程化简,根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM和PN的距离.求得x0和y0的关系式,进而求得m+n和mn的表达式,进而求得|MN|.把点P代入椭圆方程根据弦长公式求得MN|.记,根据函数的导函数判断函数的单调性,进而确定函数f(x)的值域,进而求得当时,|MN|取得最大值,进而求得y0,则P点坐标可得.
解答: 解:(I)∵圆(x﹣1)2+y2=1的圆心是(1,0),
∴椭圆的右焦点F(1,0),
∵椭圆的离心率是,∴
∴a2=2,b2=1,∴椭圆的方程是.
(II)设P(x0,y0),M(0,m),N(0,n),
由得,∴.
直线PM的方程:,
化简得(y0﹣m)x﹣x0y+x0m=0.
又圆心(1,0)到直线PM的距离为1,
∴,
∴(y0﹣m)2+x02=(y0﹣m)2+2x0m(y0﹣m)+x02m2,
化简得(x0﹣2)m2+2y0m﹣x0=0,
同理有(x0﹣2)n2+2y0n﹣x0=0.
∴,,
∴=.
∵P(x0,y0)是椭圆上的点,∴,
∴,
记,则,时,
f'(x)<0;时,f'(x)<0,
∴f(x)在上单调递减,在内也是单调递减,
∴,
当时,|MN|取得最大值,
此时点P位置是椭圆的左顶点.
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查考生分析问题、解决问题的能力.
19. 已知数列{an}是等差数列,且a1,a2(a1<a2)分别为方程x2﹣6x+5=0的二根.
(1)求数列{an}的前n项和Sn;
(2)在(1)中,设bn=,求证:当c=﹣时,数列{bn}是等差数列.
参考答案:
【考点】8E:数列的求和;8C:等差关系的确定.
【分析】(1)根据等差数列的通项公式求出首项和公差,即可求{an}的通项公式;
(2)先化简bn,再利用定义证明即可.
【解答】解:(1)解方程x2﹣6x+5=0得其二根分别为1和5,
∵a1,a2(a1<a2)分别为方程x2﹣6x+5=0的二根
∴以a1=1,a2=5,
∴{an}等差数列的公差为4,
∴=2n2﹣n;
(2)证明:当时, =,
∴bn+1﹣bn=2(n+1)﹣2n=2,
∴{bn}是以2为首项,公差为2的等差数列.
20. 已知椭圆()的离心率为,且经过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,试问在x轴上是否存在定点Q使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
参考答案:
(1) (2)见解析
【分析】
(1)由题得a,b,c的方程组求解即可(2)直线与直线恰关于轴对称,等价于的斜率互为相反数,即,整理.设直线的方程为,与椭圆联立,将韦达定理代入整理即可.
【详解】(1)由题意可得,,又,
解得,.
所以,椭圆的方程为
(2)存在定点,满足直线与直线恰关于轴对称.
设直线的方程为,与椭圆联立,整理得,.
设,,定点.(依题意
则由韦达定理可得,,.
直线与直线恰关于轴对称,等价于的斜率互为相反数.
所以,,即得.
又,,
所以,,整理得,.
从而可得,,
即,
所以,当,即时,直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地,当直线为轴时,也符合题意. 综上所述,存在轴上的定点,满足直线与直线恰关于轴对称.
【点睛】本题考查椭圆方程,直线与椭圆位置关系,熟记椭圆方程简单性质,熟练转化题目条件,准确计算是关键,是中档题.
21. “开门大吉”是某电视台推出的游戏节目,选手面对1号8扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎),选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金,在一次场外调查中,发现参赛选手多数分为两个年龄段:;(单位:岁),其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.
(Ⅰ)写出列联表;判断是否有的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关;说明你的理由;(如表的临界值表供参考)
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841111]
6.635
7.879
(Ⅱ)现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手,并抽取3名幸运选手,求3名幸运选手中恰好有一人在