湖北省荆门市白石坡中学高二数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. “a=1”是“复数z=(a2﹣1)+2(a+1)i(a∈R)为纯虚数”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】利用纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法即可得出.
【解答】解:∵a2﹣1+2(a+1)i为纯虚数,则a2﹣1=0,a+1≠0,
∴a=1,反之也成立.
∴“a=1”是“复数z=(a2﹣1)+2(a+1)i(a∈R)为纯虚数”的充要条件,
故选:A.
2. 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,设,则x+y+z等于( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
D
【考点】空间向量的基本定理及其意义.
【分析】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,用、、表示出,将它和题中已知的的解析式作对照,
求出x、y、z 的值.
【解答】解:∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,,
又∵=++,∴x=1,2y=1,3z=1,
∴x=1,y=,z=,∴x+y+z=1++=,
故选 D.
【点评】本题考查空间向量基本定理及其意义,空间向量的加减和数乘运算,用待定系数法求出x、y、z 的值.
3. 曲线f(x)=x3+x-2在P0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点坐标为( )
A.(1,0); B.(2,8); C.(1,0)和(-1,-4); D.(2,8)和(-1,-4)
参考答案:
C
4. 中心在原点、焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是( )
A. +=1 B. +=1
C. +=1 D. +=1
参考答案:
A
【考点】椭圆的简单性质;椭圆的标准方程.
【分析】先根据长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,即可确定椭圆的几何量,从而可求椭圆的方程.
【解答】解:∵长轴长为18
∴2a=18,∴a=9,
由题意,两个焦点恰好将长轴三等分
∴2c=×2a=×18=6,
∴c=3,
∴a2=81,
∴b2=a2﹣c2=81﹣9=72,
故椭圆方程为
故选A.
5. 若ad>0,则一定有( )
A. > B. < C.> D. <
参考答案:
D
6. 设与是定义在同一区间上的两个函数,若对任意的,都有,则称和在上是“密切函数”,称为“密切区间”,设与在上是“密切函数”,则它的“密切区间”可以是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. 设a>0,角α的终边经过点P(-3a,4a),那么sinα+2cosα的值等于( )
A. B.- C. D. -
参考答案:
B
8. 函数的定义域是 ( )
A. B.(1,2) C.(2,+∞) D.(-∞,2)
参考答案:
B
略
9. 已知(为常数)在上有最小值,那么此函数在上的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 观察下列几何体各自的三视图,其中有且仅有两个视图完全相同的是 ( )
①正方体 ②圆锥 ③正三棱柱 ④正四棱锥
A、①② B、②④ C、①③ D、①④
参考答案:
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4,点E是线B1C段的中点,则三棱锥A﹣DED1外接球的体积为 .
参考答案:
36π
【考点】球的体积和表面积.
【分析】三棱锥A﹣DED1外接球为四棱锥E﹣A1D1DA外接球,利用勾股定理建立方程,求出球的半径,即可求出三棱锥A﹣DED1外接球体.
【解答】解:三棱锥A﹣DED1外接球为四棱锥E﹣A1D1DA外接球,
设球的半径为R,则R2=(2)2+(4﹣R)2,
∴R=3,
∴三棱锥A﹣DED1外接球体积为=36π.
故答案为:36π.
12. 下列说法中正确的是__________.
①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真;
②“”是“”的充要条件;
③“,则,全为” 的逆否命题是“若,全不为,则”
④一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真;
⑤“为假命题”是“为真命题”的充分不必要条件.
参考答案:
②④⑤
解:①逆命题与否命题真假性相同,但无法判断其逆否命题真假,错误.
②由“”可推出,“”,“”也可推出,“”,正确.
③原命题的逆否命题为“若、不全为,则”,错误.
④否命题与逆命题真假性相同,正确.
⑤“”为假命题,那么为真命题,可推出,反之不成立,正确.
13. 一堆除颜色外其它特征都相同的红白两种颜色的球若干个,已知红球的个数比白球多,但比白球的2倍少,若把每一个白球都记作数值2,每一个红球都记作数值3,则所有球的数值的总和等于60.现从中任取一个球,则取到红球的概率等于 .
参考答案:
14. 定义在R上的函数满足=,则的值为
参考答案:
-2
15. 在区间(0,1)内任取两个实数,则这两个实数的和大于的概率为 .
参考答案:
此题为几何概型,如图:在区间(0,1)内任取两个实数x,y则 ,如图阴影部分,所以这两个实数的和大于 的概率为
16. 如果等差数列中,,那么
参考答案:
28
17. 在数列中,_________
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 下表是我国一个工业城市每年中度以上污染的天数,由于以前只注重经济发展,没有过多的考虑工业发展对环境的影响,近几年来,该市加大了对污染企业的治理整顿,环境不断得到改善.
(1)在以上5年中任取2年,至少有1年中度以上污染的天数小于60天的概率有多大;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(3)按照环境改善的趋势,估计2016年中度以上污染的天数.
参考公式:用最小二乘法求线性回归方程系数公式.
参考答案:
(1)在2010至2014年的5年中,有两年中度以上污染的天数小于60天,所以概率为.
(2)将代入得,
∴,所以线性回归方程.
(3)估计2016年中度以上污染的天数为天.
分析:本题主要考查的是线性回归方程的应用和古典概型的简单应用,意在考查学生的计算求解能力.
(1)利用对立事件的概率和为1,进行求解;
(2)根据表格得到,代入公式求得线性回归方程
(3)由(2)计算可得答案.
19. 由经验得知,在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如表:
排队人数
0
1
2
3
4
5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(Ⅰ)至多有2人排队的概率是多少?
(Ⅱ)至少有2人排队的概率是多少.
参考答案:
【考点】C5:互斥事件的概率加法公式.
【分析】(Ⅰ)“至多2人排队”是“没有人排队”,“1人排队”,“2人排队”三个事件的和事件,三个事件彼此互斥,利用互斥事件的概率公式求出至多2人排队的概率.
(Ⅱ)“至少2人排队”与“少于2人排队”是对立事件;“少于2人排队”是“没有人排队”,“1人排队”二个事件的和事件,二个事件彼此互斥,利用互斥事件的概率公式求出“少于2人排队”的概率;再利用对立事件的概率公式求出)“至少2人排队”的概率.
【解答】解:(Ⅰ)记没有人排队为事件A,1人排队为事件B.2人排队为事件C,A、B、C彼此互斥.
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56;
(Ⅱ)记至少2人排队为事件D,少于2人排队为事件A+B,那么事件D与A+B是对立事件,
则P(D)=P()=1﹣(P(A)+P(B))=1﹣(0.1+0.16)=0.74.
【点评】本题考查互斥事件的概率公式、考查对立事件的概率公式.考查计算能力.
20. (本小题10分)设等差数列的前项和为,若,且它的前11项的平均值是5。
(1)求等差数列的公差;
(2)求使成立的最小正整数。
参考答案:
(1)∵
∴k*s5*u
∴
(2)
使成立的最小正整数为7
略
21. (本题满分12分)已知点是直角坐标平面内的动点,点到直线
(是正常数)的距离为,到点的距离为,且1.
(1)求动点P所在曲线C的方程;
(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B,分别过A、B点作直线的垂线,对应的垂足分别为,求证:.
参考答案:
设动点为, 1分
依据题意,有
,化简得. 4分
因此,动点P所在曲线C的方程是:. ……………………6分
(2) 由题意可知,当过点F的直线的斜率为0时,不合题意,
故可设直线:,如图所示. 8分
联立方程组,可化为,
则点的坐标满足. 10分
又、,可得点、.
于是,,,
因此.
略
22. 直线如图,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,PD=DC=2,BC=,E是PC的中点.
(Ⅰ)证明:PA∥平面EDB;
(Ⅱ)求异面直线AD 与BE所成角的大小.
参考答案:
(Ⅰ)证明:PA∥平面EDB;
(Ⅱ)求异面直线AD 与BE所成角的大小.
证明:
(Ⅰ)连接AC,设AC∩BD=O,连接EO,
∵四边形ABCD为矩形,∴O为AC的中点.
∴OE为△PAC的中位线.
∴PA∥OE,而OE平面EDB,PA平面EBD,
∴PA∥平面EDB. ……………4分
(Ⅱ)方法一:
∵AD∥BC,∴就是异面直线AD 与BE所成的角或补角. ………6分
∵PD⊥平面ABCD, BC平面ABCD ,∴BC⊥PD.又四边形ABCD为矩形,
∴BC⊥DC.又因为PDDC= D,所以BC⊥平面PDC.
在BCE中,BC=,EC=,∴.
即异面直线AD 与BE所成角大小为. ……………10分
略