湖北省荆州市石首乡泥南中学2022年高二数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,点为斜边的中点,,则等于( )
A. B. C.9 D.14
参考答案:
D
2. 程序框图如图21-1所示,则该程序运行后输出的B等于( )
图21-1
A.7 B.15
C.31 D.63
参考答案:
D
3. 已知圆O为坐标原点,则以OC为直径的圆的方程( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
先求出圆心和半径,即得圆的方程.
【详解】由题得OC中点坐标为(3,4),
圆的半径为,
所以圆的方程为.
故选:C
【点睛】本题主要考查圆的方程的求法,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4. 已知双曲线的左焦点为,点为双曲线右支上一点,且与圆相切于点,为线段的中点,为坐标原点,则的值为( )
A.2 B.-1 C.1 D.-2
参考答案:
B
5. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“盖”的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
试题分析:设圆锥底面圆的半径为,高为,依题意,,,
所以,即π的近似值为,故选B.
考点:《算数书》中π的近似计算,容易题.
6. 右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为的等腰梯形,则该几何体的体积是( )
A. B. C.28π D.7π
参考答案:
B
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】计算题.
【分析】正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为的等腰梯形俯视图是两个圆中间的圆是虚线,得到几何体是一个圆台,圆台的上底是一个直径为2,下底的直径为4,母线长是的圆台,做出圆台的高,得到体积.
【解答】解:正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为的等腰梯形
俯视图是两个圆中间的圆是虚线,
∴几何体是一个圆台,
圆台的上底是一个直径为2,下底的直径为4,母线长是的圆台,
圆台的高是=1
∴圆台的体积是=
故选B.
【点评】本题考查由三视图确定几何图形,根据条件中所给的数据求几何体的体积,考查圆台的体积公式,本题是一个基础题.
7. 已知,则的最小值是( )
(A)4 (B) (C)5 (D)
参考答案:
D
8. 定义行列式运算 ,若将函数 的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得图象对应的函数为偶函数,则m的最小值是( )
A. B, C. D.
参考答案:
C
9. 函数的部分图象是( )
参考答案:
D
10. 已知函数f(x)=cosx﹣sinx,f′(x)为函数f(x)的导函数,那么等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点:导数的运算.
专题:导数的概念及应用.
分析:根据导数的运算法则求导,再代值计算即可.
解答: 解:f′(x)=﹣sinx﹣cosx,
∴f′()=﹣sin﹣cos=﹣,
故选:C.
点评:本题考查了导数的运算法则和导数的基本公式,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知关于x的不等式(a+b)x+(2a-3b) <0的解集是,则关于x的不等式(a-3b)x+b-2a>0的解集是_______________.
参考答案:
12. 已知圆O:x2+y2=4,直线l的方程为x+y=m,若圆O上恰有三个点到直线l的距离为1,则实数m= .
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式.
【分析】根据题意可得圆心O到直线l:x+y=m的距离正好等于半径的一半,可得 =1,由此求得m的值.
【解答】解:由题意可得圆心O到直线l:x+y=m的距离正好等于半径的一半,即 =1,
解得 m=±,
故答案为±.
13. 书架上有10本不同的语文书,2本不同的数学书,从中任意取出2本,能取出数学书的概率为 。
参考答案:
14. 若函数,则f(x)的最大值是__________.
参考答案:
1
【分析】
利用诱导公式对变形,从而计算最大值.
【详解】因为
,所以,
此时,即.
【点睛】本题考查诱导公式的运用,难度较易.注意诱导公式的使用:,.
15. 已知集合,则_________。
参考答案:
16. 椭圆7x2+3y2=21上一点到两个焦点的距离之和为 .
参考答案:
2
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】将椭圆方程转化成标准方程,求得a,b的值,由椭圆的定义可知:椭圆上一点到两个焦点的距离之和2a=2.
【解答】解:由题意可知:椭圆的标准方程:,
焦点在y轴上,a2=7,b2=3,
由c2=a2﹣b2=4,c=2,
∴由椭圆的定义可知:椭圆上一点到两个焦点的距离之和2a=2,
故答案为:2.
17. 设为实数,若复数,则a+b= .
参考答案:
2
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 解不等式:(1)|x-1|<1-2x
(2)|x-1|-|x+1|>x
参考答案:
(1)x∈(-∞,0) (2)x∈(-∞,0)
19. 如图,在四棱锥中,面,四边形是正方形,是的中点,是的中点
(1)求证:面;
(2)求证:面PCE;
(3)求点G到面PCE的距离.
参考答案:
(1),所以
(2)取中点,得平行四边形
所以
(3)转化为到平面的距离,结果
略
20. (本小题满分12分)
设函数.
(1)若在时有极值,求实数的值和的极大值;
(2)若在定义域上是增函数,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)∵在时有极值,∴有
又 ∴, ∴
∴有, 由得,
又∴由得或, 由得
∴在区间和上递增,在区间上递减
∴的极大值为
(2)若在定义域上是增函数,则在时恒成立
,需时恒成立,
化为恒成立,, 为所求。
21. 如图,在锥体P﹣ABCD中,ABCD是边长为1的菱形,且∠DAB=60°,PA=PD=,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点
(1)证明:AD⊥平面DEF
(2)求二面角P﹣AD﹣B的余弦值.
参考答案:
考点: 与二面角有关的立体几何综合题;二面角的平面角及求法.
专题: 空间位置关系与距离;空间角;立体几何.
分析: (1)利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键,在平面DEF中找两条相交直线与AD垂直,利用60°角菱形的特征可以发现AD⊥DE,通过取出AD的中点构造一个平面可以证明AD⊥EF;
(2)利用(1)中的结论找到二面角P﹣AD﹣B的平面角是解决本题的关键,求角往往要利用三角形中的余弦定理.
解答: 解:(1)取AD的中点G,连接PG,BG,在△ABG中,根据余弦定理可以算出BG=,
发现AG2+BG2=AB2,可以得出AD⊥BG,又DE∥BG
∴DE⊥AD,
又PA=PD,可以得出AD⊥PG,而PG∩BG=G,
∴AD⊥平面PBG,而PB?平面PBG,
∴AD⊥PB,又PB∥EF,
∴AD⊥EF.又EF∩DE=E,∴AD⊥平面DEF.
(2)由(1)知,AD⊥平面PBG,所以∠PGB为二面角P﹣AD﹣B的平面角,
在△PBG中,PG=,BG=,PB=2,
由余弦定理得cos∠PGB=,
因此二面角P﹣AD﹣B的余弦值为.
点评: 本题考查立体几何中基本的线面关系,考查线面垂直的判定方法,考查二面角的求法,训练了学生基本的空间想象能力,考查学生的转化与化归思想,解三角形的基本知识和学生的运算能力,属于基本的立体几何题.
22. 已知 ks5u
(1)求的值;
(2)已知,求的值.
参考答案:
解:(1)原式=,
(2)且,,
,又,
略