湖北省荆门市东宝区子陵职业高级中学高一数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若集合,则中元素的个数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
参考答案:
A
略
2. 下列叙述中,正确的个数是
①集合中最小的数是1;
②若-aN,则a∈N;
③若a∈N*,b∈N,则a+b的最小值是2;
④方程x2-4x=-4的解集是{2,2}.
[ ]
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
参考答案:
A
解析:本题考查集合与元素之间的关系,①没有说清楚是什么数集合,故错;②可举例说明:a=,则-a=N,但a=N故错;③可取a=1,b=0,则a+b=1≠2,故错;④方程解集是{2}
3. 若,则角的终边在 ( )
A.第二象限 B.第四象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限
参考答案:
C
4. 要得到函数y=3sin(2x+)图象,只需把函数y=3sin2x图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
参考答案:
C
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.
【解答】解:把函数y=3sin2x图象向左平移个单位,可得y=3sin2(x+)=3sin(2x+)的图象,
故选:C.
5. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
D
6. 已知,且,则tanφ=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】同角三角函数基本关系的运用.
【分析】利用诱导公式求得sinφ的值,利用同角三角函数的基本关系求得cosφ,从而求得tanφ的值.
【解答】解:∵已知=﹣sinφ,
且,∴sinφ=﹣,∴cosφ=,
则tanφ==﹣=﹣,
故选:C.
7. 甲、乙两人约定某天晚上7:00~8:00之间在某处会面,并约定甲早到应等乙半小时,而乙早到无需等待即可离去,那么两人能会面的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 下列四组函数中,表示同一函数的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
9. 延长正方形ABCD的边CD至E,使得DE=CD.若动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点,若,下列判断正确的是( )
A. 满足的点P必为BC的中点
B. 满足的点P有且只有一个
C. 的最小值不存在
D. 的最大值为3
参考答案:
D
试题分析:设正方形的边长为1,建立如图所示直角坐标系,则的坐标为,则设,由得
,所以,当在线段上时,,此时,此时,所以;当在线段上时,,此时,此时,所以;当在线段上时,,此时,此时,所以;当在线段上时,,此时,此时,所以;由以上讨论可知,当时,可为的中点,也可以是点,所以A错;使的点有两个,分别为点与中点,所以B错,当运动到点时,有最小值,故C错,当运动到点时,有最大值,所以D正确,故选D.
考点:向量的坐标运算.
10. 若对于任意都有,则函数的图象的对称中心为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
∵对任意x∈R,都有f(x)+2f(–x)=3cosx–sinx①,用–x代替x,得f(–x)+2f(x)=
3cos(–x)–sin(–x),即f(–x)+2f(x)=3cosx+sinx②;①②联立,解得f(x)=sinx+cosx,所以函数y=f(2x)–cos2x=sin2x+cos2x–cos2x=sin2x,图象的对称中心为(,0),k∈Z,故选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (4分)已知sinα+cosα=,则sinα?cosα= .
参考答案:
考点: 同角三角函数基本关系的运用.
专题: 计算题.
分析: 将已知两边平方后由同角三角函数基本关系即可求值.
解答: ∵sinα+cosα=,
∴两边平方,可得1+2sinα?cosα=,
∴可解得:sinα?cosα=.
故答案为:.
点评: 本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用,属于基础题.
12. 已知=2016,则+tan2α= .
参考答案:
2016
【考点】三角函数的化简求值.
【专题】转化思想;转化法;三角函数的求值.
【分析】根据同角的三角函数关系式进行化简,利用弦化切进行计算即可.
【解答】解: +tan2α=+====,
∵=2016,
∴+tan2α=2016,
故答案为:2016
【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值,利用同角的三角函数关系式进行化简是解决本题的关键.
13. 在函数①y=2x; ②y=2﹣2x;③f(x)=x+x﹣1; ④f(x)=x﹣x﹣3中,存在零点且为奇函数的序号是 .
参考答案:
④
【考点】根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质.
【分析】逐一分析给定中个函数的奇偶性及零点存在性,可得结论.
【解答】解:函数①y=2x不存在零点且为非奇非偶函数,故不满足条件;
函数②y=2﹣2x存在零点1,但为非奇非偶函数,故不满足条件;
函数③f(x)=x+x﹣1不存在零点,为奇函数,故不满足条件;
函数④f(x)=x﹣x﹣3存在零点1且为奇函数,故满足条件;
故答案为:④.
14. 若则________,________ .
参考答案:
{0,1,2,3},{1,2}
15. 已知 则f(x)的解析式为 ▲ .
参考答案:
16. 已知圆C的圆心在直线,与y轴相切,且被直线截得的弦长为,则圆C的标准方程为________.
参考答案:
或
【分析】
由圆心在直线x﹣3y=0上,设出圆心坐标,再根据圆与y轴相切,得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径,表示出半径r,距离d,由圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程,求出方程的解得到t的值,从而得到圆心坐标和半径,根据圆心和半径写出圆的方程即可.
【详解】设圆心为(3t,t),半径为r=|3t|,
则圆心到直线y=x的距离d|t|,
而 ()2=r2﹣d2,9t2﹣2t2=7,t=±1,
∴圆心是(3,1)或(-3,-1)
故答案为或.
【点睛】本题综合考查了垂径定理,勾股定理及点到直线的距离公式.根据题意设出圆心坐标,找出圆的半径是解本题的关键.
17. 已知点在圆上移动,则的中点的轨迹方程是
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知向量=(3,﹣1),=(2,1),求:
(1)(+2)?及|﹣|的值;
(2)与夹角θ的余弦值.
参考答案:
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】(1)求出各向量的坐标即可得出数量积与模长;
(2)计算,||,||,代入夹角公式计算.
【解答】解:(1)=(7,1),=(1,﹣2),
∴(+2)?=7×2+1×1=15,
|﹣|==.
(2)=3×2﹣1×1=5,||=,||=,
∴cos<>==.
19. 已知集合(),.
(1)当时,求;
(2)若,求实数的取值范围.
参考答案:
略
20. 利民工厂生产的某种产品,当年产量在150T至250T之内,当年生产的总成本y(万元)与年产量x(T)之间的关系可近似地表示为.
(Ⅰ)当年产量为多少吨时,每吨的平均成本最低,并求每吨最低平均成本;
(Ⅱ)若每吨平均出厂价为16万元,求年生产多少吨时,可获得最大的年利润,并求最大年利润.
参考答案:
【考点】基本不等式在最值问题中的应用.
【分析】(I)利用总成本除以年产量表示出平均成本;利用基本不等式求出平均成本的最小值.
(II)利用收入减去总成本表示出年利润;通过配方求出二次函数的对称轴;由于开口向下,对称轴处取得最大值.
【解答】解:(I)设每吨的平均成本为W(万元/T),
则,
当且仅当,x=200(T)时每吨平均成本最低,且最低成本为10万元.(6分)
(II)设年利润为u(万元),则=.(11分)
所以当年产量为230吨时,最大年利润1290万元.(12分)
【点评】本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足:
正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴.
21. 定义在上奇函数与偶函数,对任意满足+ a为实数
(1)求奇函数和偶函数的表达式
(2)若a>2, 求函数在区间上的最值
参考答案:
解:(1)+ ①
②………3分
联立①②得=sin2x+acosx ……5分 ………7分
(2)=1-cos2x+acosx=-(cosx-)2++1………9分
若a>1,则对称轴>1,且x时,cosx[-1,]……11分
当cosx=-1 ,h(x)min=-a,当cosx=, h(x)max=…ks5u…14分
22. 已知在锐角△ABC中,a,b,c为角A,B,C所对的边,且(b﹣2c)cosA=a﹣2acos2.
(1)求角A的值;
(2)若a=,则求b+c的取值范围.
参考答案:
【考点】HP:正弦定理;GL:三角函数中的恒等变换应用.
【分析】(1)在锐角△ABC中,根据条件利用正弦定理可得 (sinB﹣2sinC)cosA=sinA(﹣cosB),化简可得cosA
=,由此可得A的值.
(2)由正弦定理可得==2,可得 b+c=2(sinB+sinC)=2sin(B+).
再由,求得B的范围,再利用正弦函数的定义域和值域求得b+c的取值范围.
【解答】解:(1)在锐角△ABC中,根据(b﹣2c)cosA=a﹣2acos2=a﹣2a?,
利用正弦定理可得 (sinB﹣2sinC)cosA=sinA(﹣cosB),
即 sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA,即sin(B+A)=2sinCcosA,
即sinC=2sinCcosA,∴cosA=,∴A=.
(2)若a=,则由正弦定理可得==2,
∴b+c=2(sinB+sinC)=2=3sinB+cosB=2sin(B+).
由于,求得<B<,∴<B+<.
∴sin(B+)∈(,1],∴b+c∈(3,2].
【点评】本题主要考查正弦定理的应用,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.