湖北省荆州市监利县大垸高级中学高一数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图像大致为( ).
A B C D
参考答案:
A
2. 设正数a,b满足,若关于的不等式的解集中的整数解恰有4个,则a的取值范围是( )
A. (2,3) B. (3,4) C. (2,4) D. (4,5)
参考答案:
C
分析:将不等式因式分解可得,由于解集中整数解恰有4个,则a>2,则有,则四个整数解为-3,﹣2,﹣1,0.则有,结合条件,可得a<4,进而得到a的范围.
详解:,即
∴,,
∴
由于解集中整数解恰有4个,则a>2,
∴
则四个整数解-3,﹣2,﹣1,0.
∴,即
即,又
∴,∴,又a>2
∴的取值范围是
故选:C
点睛:本题考查一元二次不等式的解法,考查不等式的整数解的求法,考查不等式的性质的运用,考查运算能力,属于易错题.
3. 要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面,则需安装这种喷水龙头的个数最少是
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
B
4. (5分)若偶函数f(x)在区间(﹣∞,﹣1]上是增函数,则()
A. f(2)<f(﹣1.5)<f(﹣1) B. f(﹣1)<f(﹣1.5)<f(2) C. f(2)<f(﹣1)<f(﹣1.5) D. f(﹣1.5)<f(﹣1)<f(2)
参考答案:
A
考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由函数的奇偶性、单调性把f(2)、f(﹣1.5)、f(﹣1)转化到区间(﹣∞,﹣1]上进行比较即可.
解答: 因为f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,
又﹣2<﹣1.5<﹣1≤﹣1,所以f(﹣2)<f(﹣1.5)<f(﹣1),
又f(x)为偶函数,f(﹣2)=f(2),
所以f(2)<f(﹣1.5)<f(﹣1).
故选A.
点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性的综合运用,解决本题的关键是灵活运用函数性质把f(2)、f(﹣1.5)、f(﹣1)转化到区间(﹣∞,﹣1]上解决.
5. △的面积为,边长,则边长为
A.5 B.6 C.7 D.8
参考答案:
C
6. 函数可以认为由函数怎么变换得到 ( )
A.横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍 B.横坐标不变,纵坐标变为原来的倍
C.纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍 D.纵坐标不变,横坐标变为原来的倍
参考答案:
D
7. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积等于( )。
A.72 B. 66 C.60 D.30
参考答案:
A
8. 数列{an}的通项公式是an=(n∈N*),若前n项的和为,则项数为( )
A.12 B.11 C.10 D.9
参考答案:
C
【考点】8E:数列的求和.
【分析】由已知,an=,l利用裂项相消法求和后,再求出项数n即可.
【解答】解:an=,(n∈N*)
,前n项的和Sn=()+()+…()=1﹣=
当Sn=时解得n=10
故选C.
9. 已知α,β是两个不同平面,给出下列四个条件:
①存在一条直线a,a⊥α,a⊥β;
②存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β;
③存在两条平行直线a,b,a∥α,b∥β,a∥β,b∥α;
④存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α.
其中可以推出α∥β的是( )
A.①③ B.①④ C.②④ D.②③
参考答案:
B
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】在①中,由面面平行的判定定理得α∥β;在②中,α与β相交或平行;在③中,α与β相交或平行;在④中,由面面平行的判定定理得α∥β.
【解答】解:由α,β是两个不同平面,知:
在①中,存在一条直线a,a⊥α,a⊥β,
由面面平行的判定定理得α∥β,故①正确;
在②中,存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β,则α与β相交或平行,故②错误;
③存在两条平行直线a,b,a∥α,b∥β,a∥β,b∥α,则α与β相交或平行,故③错误;
④存在两条异面直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α,由面面平行的判定定理得α∥β,故④正确.
故选:B.
10. 设集合,则( )
A.{1,2} B.{3,4} C.{1} D.{-2,-1,0,1,2}
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x)=﹣x3(x>0),若f(m)﹣m2≤f(1﹣m)﹣(1﹣m)2,则m的取值范围为 .
参考答案:
[,1)
【考点】其他不等式的解法.
【分析】令F(x)=f(x)﹣x2=﹣x3﹣x2(x>0),得到F(x)在(0,+∞)递减,根据函数的单调性求出m的范围即可.
【解答】解:由于f(m)﹣m2≤f(1﹣m)﹣(1﹣m)2,
令F(x)=f(x)﹣x2=﹣x3﹣x2(x>0),
则F(x)在(0,+∞)递减,
不等式F(m)≤F(1﹣m).
故,解得:,
即≤m<1,
故答案为:[,1).
12. 设定义在区间上的函数是奇函数,则实数的值是_______________________.
参考答案:
2
13. 函数恒过定点
参考答案:
(2,1)
14. 在中,若,,则 ,
参考答案:
;
试题分析:由余弦定理 ,代入解得b,利用余弦定理可得,由,可得,在中,由余弦定理可得:可得:
考点: 线段的定比分点,余弦定理
15. 给出下列说法:
①数列,3,,,3…的一个通项公式是;
②当k∈(﹣3,0)时,不等式2kx2+kx﹣<0对一切实数x都成立;
③函数y=sin2(x+)﹣sin2(x﹣)是周期为π的奇函数;
④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.
其中,正确说法序号是 .
参考答案:
①②④
考点:命题的真假判断与应用.
专题:函数的性质及应用;等差数列与等比数列;三角函数的图像与性质;空间位置关系与距离.
分析:根据已知,归纳猜想数列的通项公式,可判断①;根据二次函数的图象和性质,结合已知,可判断②;利用诱导公式和二倍角公式,化简函数解析式,结合三角函数的图象和性质,可判断③;根据公理2及其推论,可判断④.
解答: 解:数列,3=,,,3=…的被开方数构造一个以3为首项,以6为公差的等差数列,
故它的一个通项公式是,故①正确;
②当k∈(﹣3,0)时,∵△=k2+3k<0,
故函数y=2kx2+kx﹣的图象开口朝下,且与x轴无交点,
故不等式2kx2+kx﹣<0对一切实数x都成立,故②正确;
③函数y=sin2(x+)﹣sin2(x﹣)=sin2(x+)﹣cos2=sin2(x+)﹣cos2(x+)=﹣cos(2x+0=cos2x,是周期为π的偶函数,故③错误;
④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内,故④正确.
故说法正确的序号是:①②④,
故答案为:①②④
点评:本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,本题综合性强,难度中档.
16. 已知向量夹角为45°,且,则 .
参考答案:
的夹角,,,,.
17. 计算=
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 定义在[-4,4]上的奇函数f(x),已知当时,.
(1)求f(x)在[0,4]上的解析式;
(2)若时,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
(1)是定义在上的奇函数, ……2分
设,
时, …………6分
(2),即
即 时恒成立
……9分
在R上单调递减,
时, 的最大值为
…………12分
19. (I)解不等式: ;
(II)解关于的不等式: .
参考答案:
解:(I)原不等式等价于
所以
故原不等式的解集为
II)原不等式可化为
综上:不等式的解集为:
略
20. 设a∈R,函数 f (x) = x2 +2 a | x-1 | , x∈R.
(1)讨论函数f (x)的奇偶性;
(2)求函数f (x)的最小值.
参考答案:
解:f (x)=x2+2 a |x-1|,x∈R.
(1)当a=0时, f (x)=x2, 函数是偶函数;当a ≠ 0时函数没有奇偶性。……2分
因为f(1)=1 ,f(-1)=1+4a ≠ f(1) , 即a ≠ 0时函数不是偶函数;……3分
当a ≠ -时f(-1)=1+4a ≠- f(1),函数不是奇函数;当a =-时,
f(x)=x2-| x-1 |.,f(2)=3,f(-2)=1,f(-2) ≠ -f(2),所以函数不是奇函数。……5分
综上,当a=0时, f (x)=x2, 函数是偶函数;当a ≠ 0时函数没有奇偶性。
(2) f (x) = = ……7分
1° a≥1时,x≥1时,f (x)≥x 2≥1 = f (1) T f (x)min = 1……8分
x < 1时,对称轴 x = a > 1 T f (x) 在 (-¥,1) 上为减函数 T f (x) > f (1) = 1
综上,a≥1时,f (x)min = 1………………………………………………10分
2° a < 1时,若 x < 1,f (x)min = f (a) = -a 2 + 2a = 2a-a 2……11分
而 x≥1时,f (x)min≥-a 2-2a > -a 2 > 2a-a 2…………12分
∴ a < 1时,f (x) min = 2a-a 2
∴ f (x) min = ……13分
(2)参考解法: ……6分 先分段求出函数的最小值:
当时,对称轴为
①当,即时,在递增,; ……7分
②当,即时, ……8分
当时,对称轴为
①当时,在递减,; ……9分
②当时, ……10分
再比较合并函数的最小值
①当时,
②当时,可知, ks5u
③当时,比较1与大小,,
综上所述: ……13分
21. 已知,,当k为何值时.
(1) 与垂直?
(2) 与平行?平行时它们是同向还是反向?
参考答案:
(1)19;(2)见解析
【分析】
(1)先表示出和的坐标,利用数量积为0可得k;
(2)先表示出和的坐标,利用共线的坐标表示可以求得k,方向的判定结合坐标分量的符号来进行.
【详解】k
=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4)
(1),得=10(k-3)-4(2k+2)=2k-38=0,k=19
(2),得-4(k-3)=10(2k+2),k=-
此时k(10,-4),所以方向相反.
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算,明确坐标运算时,垂直和平行的条件是求解关键,题目较简