湖北省荆州市石首光明中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 的值是
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 已知命题p:?x∈R,x>sinx,则p的否定形式为
A.?p:?x0∈R,x0≤sinx0 B.?p:?x∈R,x≤sinx
C.?p:?x0∈R,x0b是 的 ( )
A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
C
9. 的展开式中二项式系数最大的项是( )
A.5 B.6 C.-252 D.210
参考答案:
C
略
10. 在和8之间插入3个数,使它们与这两个数依次构成等比数列,则这3个数的积为( )
A.8 B.±8 C.16 D.±16
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC中,若,,,则的大小为___________.
参考答案:
略
12. 已知a>0且a≠1,关于x的方程|ax﹣1|=5a﹣4有两个相异实根,则a的取值范围是 .
参考答案:
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】先画出a>1和0<a<1时的两种图象,根据图象可直接得出答案.
【解答】解:据题意,函数y=|ax﹣1|(a>0,a≠1)的图象与直线y=5a﹣4有两个不同的交点.
当a>1时,0<5a﹣4<1,所以a∈(,1),舍去.
当0<a<1时
由图知,0<5a﹣4<1,所以a∈(,1),
故答案为:.
13. 设p、r都是q的充分条件,s是q的充分必要条件,t是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t的____▲____条件.
参考答案:
充分
略
14. 是异面直线,下面四个命题:
①过至少有一个平面平行于; ②过至少有一个平面垂直于;
③至多有一条直线与都垂直;④至少有一个平面与都平行。
其中正确命题的个数是 ▲
参考答案:
2
15. 直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切,则实数m= .
参考答案:
或
【考点】圆的切线方程.
【分析】求出圆x2+y2﹣2x﹣2=0的圆心为C(1,0)、半径r=,根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径,利用点到直线的距离公式列式,解之即可得到实数m的值.
【解答】解:∵将圆x2+y2﹣2x﹣2=0化成标准方程,得(x﹣1)2+y2=3,
∴圆x2+y2﹣2x﹣2=0的圆心为C(1,0),半径r=.
∵直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切,
∴点C到直线的距离等于半径,即=,
解之得m=或.
故答案为:或
【点评】本题给出含有参数m的直线与已知圆相切,求参数m之值.着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题.
16. 已知函数在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M、m,则M-m=
参考答案:
32
略
17. 描述算法的方法通常有:
(1)自然语言;(2) ;(3)伪代码.
参考答案:
流程图
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 伴随着智能手机的深入普及,支付形式日渐多样化,打破了传统支付的局限性和壁垒,有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系,某调研机构随机抽取了50人,对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计,如表:
年龄(单位:岁)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
人数
5
10
15
10
5
5
使用手机支付人数
3
10
12
7
2
1
(1)若以“年龄55岁为分界点”,由以上统计数据完成下面的2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关;
年龄不低于55岁的人数
年龄低于55岁的人数
合计
使用
不适用
合计
(2)若从年龄在[55,65),[65,75)内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查,记选中的4人中“使用手机支付”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望;
参考数据如下:
0.05
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参考格式:,其中
参考答案:
(1)详见解析;(2)详见解析.
【分析】
(1)根据题中的数据补充2×2列联表,计算出的值,根据临界值表找出犯错误的概率,于此可对题中的问题下结论;
(2)先确定年龄在和的人数,可得知的取值有0、1、2、3,然后利用超几何分布列的概率公式计算概率,列出随机变量的分布列,并计算出的数学期望。
【详解】(1)根据题意填写2×2列联表,如下;
年龄不低于55岁的人数
年龄低于55岁的人数
合计
使用
3
32
35
不适用
7
8
15
合计
10
40
50
根据表中数据,计算K2的观测值,
所以有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关;
(2)由题意可知ξ所有可能取值有0,1,2,3;
, ,
,.
所以ξ的分布列是:
0
1
2
3
p
ξ的数学期望是.
【点睛】本题第(1)问考查独立性检验,关键在于列出2×2列联表并计算出的观测值,第(2)问考查离散型随机分布列与数学期望,这类问题首先要弄清楚随机变量所服从的分布列,并利用相关公式进行计算,属于常考题型,考查计算能力,属于中等题。
19. (本小题满分12分)如图示,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于C,若|BC|=2|BF|,且|AC|=5,求此抛物线的方程。
参考答案:
20. 某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元,已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)=200x+(元),若生产出的产品都能以每件500元售出,要使利润最大,该厂应生产多少件这种产品?最大利润是多少?
参考答案:
【考点】6K:导数在最大值、最小值问题中的应用.
【分析】先由题意建立利润L(x)的函数关系式,然后利用导数求函数的最值.
【解答】解:设该厂生产x件这种产品的利润为L(x)元,则
=,则,则由,解得x=60(件).
又当0≤x<60时,L'(x)>0,函数L(x)单调递增,
当x>60时,L'(x)<0,函数L(x)单调递减,
所以x=60是函数L(x)的极大值点,同时也是最大值点,所以当x=60时,L(x)=9500元.
因此,要使利润最大,该厂应生产60件这种产品,最大利润为9500元.
21. 学校举行演讲比赛,高二(12)班有4名男同学和3名女同学都很想参加这次活动,现从中选一名男同学和一名女同学代表本班参赛,求女同学甲参赛的概率是多少?
参考答案:
由于男生从4人中任意选取,女生从3人中任意选取,为了得到试验的全部结果,我们设男生为A,B,C,D,女生为1,2,3,我们可以用一个“数对”来表示随机选取的结果.如(A,1)表示:从男生中随机选取的是男生A,从女生中随机选取的是女生1,可用列举法列出所有可能的结果.如下表所示,设“女同学甲参赛”为事件E.
女
结果
男
1
2
3
A
(A,1)
(A,2)
(A,3)
B
(B,1)
(B,2)
(B,3)
C
(C,1)
(C,2)
(C,3)
D
(D,1)
(D,2)
(D,3)
由上表可知,可能的结果总数是12个.设女同学甲为编号1,她参赛的可能事件有4个,故她参赛的概率为P(E)=.
(1) .
甲班的样本方差s2= [(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+(168-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57.2.
(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”为事件A.
从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有:(181,173),(181,176),(181,178),(181,179),(179,173),(179,176),(179,178),(178,173),(178,176),(176,173),共10个基本事件,而事件A含有4个基本事件:(181,176),(179,176),(178,176),(176,173).所以.
22. 如图,已知椭圆与椭圆的离心率相同.
(1)求m的值;
(2)过椭圆C1的左顶点A作直线l,交椭圆C1于另一点B,交椭圆C2于P,Q两点(点P在A,Q之间).①求面积的最大值(O为坐标原点);②设PQ的中点为M,椭圆C1的右顶点为C,直线OM与直线BC的交点为R,试探究点R是否在某一条定直线上运动,若是,求出该直线方程;若不是,请说明理由.
参考答案:
(1)1;(2)①;②点R在定直线上
【分析】
(1)利用两个椭圆离心率相同可构造出方程,解方程求得结果;(2)①当与轴重合时,可知不符合题意,则可设直线的方程:且;设,,联立直线与椭圆方程可求得,则可将所求面积表示为:,利用换元的方式将问题转化为二次函数的最值的求解,从而求得所求的最大值;②利用中点坐标公式求得,则可得直线的方程;联立直线与椭圆方程,从而可求解出点坐标,进而得到直线方程,与直线联立解得坐标,从而可得定直线.
【详解】(1) 由椭圆方程知:,
离心率:
又椭圆中,,
,又,解得:
(2)①当直线与轴重合时,三