湖北省荆门市京山县实验高级中学2022年高二数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 10名运动员中有2名老队员和8名新队员,现从中选3人参加团体比赛,要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有( )
A. 77种 B. 144种 C. 35种 D. 72种
参考答案:
A
【分析】
根据所选3名队员中包含老队员的人数分成两类:(1) 只选一名老队员;(2) 没有选老队员,分类计数再相加可得.
【详解】按照老队员的人数分两类:
(1)只选一名老队员,则新队员选2名(不含甲)有42;
(2)没有选老队员,则选3名新队员(不含甲)有,
所以老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有:种.
故选A.
【点睛】本题考查了分类计数原理,属基础题.
2. 已知数列{an},如果a1,a2﹣a1,a3﹣a2,…,an﹣an﹣1,…,是首项为1,公比为的等比数列,则an=( )
A.(1﹣) B.(1﹣) C.(1﹣) D.(1﹣)
参考答案:
A
【考点】等比数列的性质.
【专题】计算题;等差数列与等比数列.
【分析】因为数列a1,(a2﹣a1),(a3﹣a2),…,(an﹣an﹣1),…,此数列是首项为1,公比为的等比数列,根据等比数列的通项公式可得数列{an}的通项.
【解答】解:由题意an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(an﹣an﹣1)=
故选:A.
【点评】考查学生对等比数列性质的掌握能力,属于基础题.
3. 圆心在曲线 上,且与直线相切的面积最小的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
4. 下列说法错误的是( )
A.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则直线a不一定平行于直线b
B.若平面α不垂直于平面β,则α内一定不存在直线垂直于平面β
C.若平面α⊥平面β,则α内一定不存在直线平行于平面β
D.若平面α⊥平面v,平面β⊥平面v,α∩β=l,则l一定垂直于平面v
参考答案:
C
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】A.根据线面平行的性质定理进行判断,
B.利用反证法结合面面垂直的性质进行判断,
C.利用面面垂直以及线面平行的性质进行判断,
D.根据面面垂直的性质进行判断.
【解答】解:A.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a,b平行或相交或是异面直线,则直线a不一定平行于直线b正确,故A正确,
B.若α内存在直线垂直于平面β,则根据面面垂直的判定定理得α⊥β,与平面α不垂直于平面β矛盾,故若平面α不垂直于平面β,则α内一定不存在直线垂直于平面β正确,故B错误,
C.若平面α⊥平面β,则α内当直线与平面的交线平行时,直线即与平面β平行,故C错误,
D.若平面α⊥平面v,平面β⊥平面v,α∩β=l,则根据面面垂直的性质得l一定垂直于平面v,故D正确,
故选:C
【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及空间直线,平面,之间平行和垂直的位置关系的应用,根据相应的判定定理是解决本题的关键.
5. 曲线y=﹣x3+3x2在点(2,4)处的切线方程为( )
A.x=4 B.y=4 C.x=2 D.y=2x
参考答案:
B
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】根据曲线方程y=﹣x3+3x2,对f(x)进行求导,求出f′(x)在x=2处的值即为切线的斜率,曲线又过点(2,4),即可求出切线方程.
【解答】解:∵曲线y=﹣x3+3x2,
∴y′=﹣3x2+6x,
∴切线方程的斜率为:k=y′|x=2=0,
又∵曲线y=﹣x3+3x2过点(2,4)
∴切线方程为:y=4,
故选:B.
6. 如图:样本A和B分别取自两个不同的总体,他们的样本平均数分别为和,样本标准差分别为和,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
7. 函数R)是
(A)周期为的奇函数 (B)周期为的偶函数
(C)周期为的奇函数 (D)周期为的偶函数
参考答案:
B
8. 在△ABC中,AB=AC=10cm, BC=12cm, PA⊥平面ABC,PA = 8cm, 则点P到边BC的
1,3,5
距离为 ( )
A.10 cm B.13 cm C.cm D. cm
参考答案:
C
略
9. 命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
参考答案:
B
10. 已知函数则的值为( )
A. B.4 C.2 D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在四面体中,则二面角的大小为__________.
参考答案:
60°
略
12. 在区间内随机地抽取两个数,则两数之和小于的概率为
参考答案:
13. 观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律,第个等式为 .
参考答案:
14. 已知,则的最小值为 .
参考答案:
9
15. 若△ABC的内角A、B、C的对边分别是,且,则cosB等于
参考答案:
16. 在直角坐标系xOy中,设P为两动圆
的一个交点,记动点P的轨迹为C.给出下列三个结论:
①曲线C过坐标原点;
②曲线C关于x轴对称;
③设点,则有.
其中,所有正确的结论序号是__________.
参考答案:
②③
17. 由三个数字 、、 组成的 位数中, 、、 都至少出现 次, 这样的 位数共有 ______
参考答案:
解析:在 位数中, 若 只出现 次,有 个;
若 只出现 次,有 个;
若 只出现 次,有 个. 则这样的五位数共有 个. 故 个.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 对任意函数f(x),x∈D,可按如图构造一个数列发生器,数列发生器产生数列{xn}.
(1)若定义函数f(x)=,且输入x0=,请写出数列{xn}的所有项;
(2)若定义函数f(x)=2x+3,且输入x0=﹣1,求数列{xn}的通项公式.
参考答案:
【考点】程序框图.
【分析】(1)函数f(x)=的定义域D=(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞),由此能推导出数列{xn}只有三项x1=,x2=,x3=﹣1.
(2)f(x)=2x+3的定义域为R,若x0=﹣1,则x1=1,则xn+1+3=2(xn+3),从而得到数列{xn+3}是首项为4,公比为2的等比数列,由此能求出数列{xn}的通项公式.
【解答】解:(1)函数f(x)=的定义域D=(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞),…
把x0=代入可得x1=,把x1=代入可得x2=,把x2=代入可得x3=﹣1,
因为x3=﹣1?D,
所以数列{xn}只有三项:x1=,x2=,x3=﹣1.…
(2)f(x)=2x+3的定义域为R,…
若x0=﹣1,则x1=1,
则xn+1=f(xn)=2xn+3,
所以xn+1+3=2(xn+3),…
所以数列{xn+3}是首项为4,公比为2的等比数列,
所以xn+3=4?2n﹣1=2n+1,
所以xn=2n+1﹣3,
即数列{xn}的通项公式xn=2n+1﹣3. …
19. 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.
(Ⅰ)求乙获胜的概率;
(Ⅱ)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.
参考答案:
【考点】相互独立事件的概率乘法公式;概率的基本性质.
【分析】(Ⅰ)分别求出乙第一次投球获胜的概率、乙第二次投球获胜的概率、乙第三次投球获胜的概率,相加即得所求.
(Ⅱ)由于投篮结束时乙只投了2个球,说明第一次投球甲乙都没有投中,第二次投球甲没有投中、乙投中,或第三次投球甲投中了,把这两种情况的概率相加,即得所求.
【解答】解:(Ⅰ)∵乙第一次投球获胜的概率等于 =,乙第二次投球获胜的概率等于??=,乙第三次投球获胜的概率等于=,
故 乙获胜的概率等于 ++=.
(Ⅱ)由于投篮结束时乙只投了2个球,说明第一次投球甲乙都没有投中,第二次投球甲没有投中、乙投中,或第三次投球甲投中了.
故投篮结束时乙只投了2个球的概率等于 +×=.
20. 对某校2015届高三学生一个月内参加体育活动的次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加体育活动的次数.根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图:
(Ⅰ)求a的值,并根据此直方图估计该校2015届高三学生在一个月内参加体育活动的次数的中位数(精确到个位数);
(Ⅱ)在所取的样本中,从参加体育活动的次数不少于20次的学生中任取4人,记此4人中参加体育活动不少于25次的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.
参考答案:
考点:离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图.
专题:概率与统计.
分析:(I)由分组[10,9)内的频数是10,频率是0.25,由此能求出a的值,据此直方图估计该校2015届高三学生在一个月内参加体育活动的次数的中位数.
II)根据题意ξ可能取值为0,1,2.由此能求出ξ的分布列和Eξ.
解答: 解:(I)由分组[10,9)内的频数是10,频率是0.25,
∴=0.25,∴M=40,即频数之和为40,∴10+24+m+2=40,∴m=4,
∴p==0.10,∵a是对应分组[15,20)的频率与组距的商,∴a==0.12.
下面找面积平分线,解得中位数为15+=17≈17.
(II)根据题意ξ可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ)==,
ξ
0
1
2
P
∴ξ的分布列为Eξ=0×+1×+2×=.
点评:本题考查中位数的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用
21. 数列{an}中,,,且满足.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设,求.
参考答案:
略
22. 本小题满分12分)已知函数。
(1)若方程在上有解,求的取值范围;
(2)在中,分别是所对的边,当(1)中的取最大值,且时,求的最小值。
参考答案:
解:(1),在内有解…3
…5
(2),
或
……7
,当且仅当时有最大值1。 ……9
,……………10
有最小值1,此时 …………………12