湖北省荆州市程集中学高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是
A.-3 B.-1 C.1 D.3
参考答案:
D
由画出可行域及直线x+2y=0如图所示,平移x+2y=0发现,
当其经过直线与的交点时,最大为,选D.
2. 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x>0时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
参考答案:
A
【考点】函数的单调性与导数的关系.
【专题】创新题型;函数的性质及应用;导数的综合应用.
【分析】由已知当x>0时总有xf′(x)﹣f(x)<0成立,可判断函数g(x)=为减函数,由已知f(x)是定义在R上的奇函数,可证明g(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,根据函数g(x)在(0,+∞)上的单调性和奇偶性,模拟g(x)的图象,而不等式f(x)>0等价于x?g(x)>0,数形结合解不等式组即可.
【解答】解:设g(x)=,则g(x)的导数为:g′(x)=,
∵当x>0时总有xf′(x)<f(x)成立,
即当x>0时,g′(x)恒小于0,
∴当x>0时,函数g(x)=为减函数,
又∵g(﹣x)====g(x),
∴函数g(x)为定义域上的偶函数
又∵g(﹣1)==0,
∴函数g(x)的图象性质类似如图:
数形结合可得,不等式f(x)>0?x?g(x)>0
?或,
?0<x<1或x<﹣1.
故选:A.
【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性,并由函数的奇偶性和单调性解不等式,属于综合题.
3. 下列命题中错误的是( )
A.如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线
B.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么直线l⊥平面γ
C.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
D.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交
参考答案:
C
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】由空间中直线与平面的位置关系逐一核对四个选项得答案.
【解答】解:如果平面α外的直线a不平行于平面α,则a与α相交,则α内不存在与a平行的直线,故A正确;
如图:α⊥γ,α∩γ=a,β⊥γ,β∩γ=b,α∩β=l,
在γ内取一点P,过P作PA⊥a于A,作PB⊥b于B,由面面垂直的性质可得PA⊥l,PB⊥l,
则l⊥γ,故B正确;
如果平面α⊥平面β,那么平面α内的直线与平面β有三种位置关系:平行、相交、异面,故C错误;
一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交,故D正确.
故选:C.
4. 某校高中生共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,现采用分层抽取容量为45人的样本,那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为
A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D.15,10,20
参考答案:
D
5. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A.16 B.20 C.52 D.60
参考答案:
B
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图得到几何体为三棱柱与三棱锥的组合体,根据图中数据,计算体积即可.
【解答】解:由题意,几何体为三棱柱与三棱锥的组合体,如图
体积为=20;
故选B.
【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积;关键是正确还原几何体,利用三视图的数据求体积.
6. 已知M是△ABC内的一点,且=2,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA和△MAB的面积分别为,x,y,则+的最小值是( )
A.20 B.18 C.16 D.9
参考答案:
B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用;向量在几何中的应用.
【专题】计算题.
【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值,利用三角形的面积公式求得x+y的值,进而把+转化成2(+)×(x+y),利用基本不等式求得+的最小值.
【解答】解:由已知得=bccos∠BAC=2?bc=4,
故S△ABC=x+y+=bcsinA=1?x+y=,
而+=2(+)×(x+y)
=2(5++)≥2(5+2)=18,
故选B.
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用,向量的数量积的运算.要注意灵活利用y=ax+的形式.
7. 设集合M={0,1,2},N=,则=( )
A. {1} B. {2} C. {0,1} D. {1,2}
参考答案:
D
略
8. 已知函数f(x)=若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(-1,2) D.(-2,1)
参考答案:
D
9. 已知x∈[-1,1]时,f(x)=-ax+>0恒成立,则实数a的取值范围是
A.(0,2) B.(2,+∞) C.(0,+∞) D.(0,4)
参考答案:
A
略
10. 函数满足,其导函数的图象如下图,则的图象与轴所围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C.2 D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△中,已知,,则△的面积为 。
参考答案:
略
12. 曲线在点(1,0)处的切线的方程为__________.
参考答案:
【分析】
对求导,带入得到斜率,通过点斜式得到切线方程,再整理成一般式得到答案.
【详解】
带入得切线的斜率,
切线方程为,整理得
【点睛】本题考查导数的几何意义,通过求导求出切线的斜率,再由斜率和切点写出切线方程.难度不大,属于简单题.
13. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点F,点A是两曲线的一个交点,且轴,则双曲线的离心率为 。
参考答案:
14. 计算极限:= .
参考答案:
2
.
15. 设随机变量服从正态分布,若,则P(>2)= ;
参考答案:
答案:0.1
16. 已知,且,则与夹角的取值范围是 .
参考答案:
17. 已知,且为第二象限角,则的值为 .
参考答案:
因为为第二象限角,所以。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)设各项均为正数的等比数列{an}中,a1a3=64,a2+a4=72.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2))设bn=,Sn是数列{bn}的前n项和,不等式Sn>loga(a﹣2)对任意正整数n恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)利用等比数列的通项公式即可得出.
(2)==,利用“裂项求和”方法可得Sn=.数列{Sn}单调递增,因此(Sn)min=.不等式Sn>loga(a﹣2)对任意正整数n恒成立,只需loga(a﹣2)<,利用对数函数的单调性即可得出.
【解答】(1)解:设数列{an}的公比为q>0,∵a1a3=64,a2+a4=72.
∴=64, =72,
∴q=2,a1=4
∴数列{an}的通项公式为an=2n+1.
(2)解: ==,
Sn=+…+=1﹣=.
∴数列{Sn}单调递增,因此(Sn)min=.
不等式Sn>loga(a﹣2)对任意正整数n恒成立,
只需loga(a﹣2)<,
由a﹣2>0得:a>2,∴,a2﹣5a+4<0,解得:1<a<4,
又a>2,
∴实数a的取值范围是(2,4).
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、数列的单调性、“裂项求和”方法、对数函数的单调性、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
19. 已知函数满足,且的最小值为.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若,,求的值.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)先根据辅助角公式化简函数,再根据正弦函数性质求周期,即得,最后根据正弦函数性质求单调区间;
(2)先求,再根据两角差正弦公式求的值.
【详解】(1)
因为,且的最小值为,所以,
因此
由得
即递增区间为
(2),
【点睛】本题考查三角函数解析式、正弦函数单调性以及与两角差正弦公式,考查基本分析求解能力,属基础题.
20. 已知椭圆的离心率,左准线方程为。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知过椭圆上一点作椭圆的切线,切线方程为。现过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线于椭圆交于两点,过分别作椭圆的切线。
①证明:的交点在一条定直线上;
②求面积的最小值。
参考答案:
略
21. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为,(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为,
(1)求出和的直角坐标方程;
(2)设点在上,点在上,求的最小值及此时点的直角坐标.
参考答案:
(1)
(2)的最小值为,此时P点坐标为
22. (本小题满分15分)设函数。(是实数,为自然对数的底数),在内存在两个极值点,。
(I)求的取值范围;
(II)若对任意的,恒成立,求实数的最小值。
参考答案:
(1)则: -----------------2分
在上有两个不相等的实数根。
时不成立
,如图可得:
---------------------------------------------------6分
(2)由(1)得:
在上递增,在上递减,在上递增。
时,
时,-------------------------8分
又,
---------------------------------------------12分
设,,则:
在上递减
,即的最小值为。-----------------------------------------15分