湖北省荆门市南桥中学高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 三个数a=0.32,b=log20.3,c=20.3之间的大小关系是( )
A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a
参考答案:
C
【考点】指数函数单调性的应用.
【分析】将a=0.32,c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x,y=2x之间所对应的函数值,利用它们的图象和性质比较,将b=log20.3,抽象为对数函数y=log2x,利用其图象可知小于零.最后三者得到结论.
【解答】解:由对数函数的性质可知:b=log20.3<0,
由指数函数的性质可知:0<a<1,c>1
∴b<a<c
故选C
2. 已知0<a<1,则a2、2a、log2a的大小关系是( )
A.a2>2a>log2a B.2a>a2>log2a C.log2a>a2>2a D.2a>log2a>a2
参考答案:
B
【考点】4M:对数值大小的比较.
【分析】根据指数函数,幂函数,对数函数的性质分别判断取值范围即可得到结论.
【解答】解:∵0<a<1,
∴0<a2<1,1<2a<2,log2a<0,
∴2a>a2>log2a,
故选:B.
3. 数列满足,且,则数列的前项的乘积为
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 下图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正视图、俯视图如下图;②存在四棱柱,其正视图、俯视图如下图;③存在圆柱,其正视图、俯视图如下图.其中真命题的个数是( )
A.3 B.2
C.1 D.0
参考答案:
A
5. 要得到函数的图像,只需将函数的图像( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
参考答案:
C
【分析】
由三角函数的平移变换求解即可
【详解】函数的图像向右平移个单位得
故选:C
【点睛】本题考查三角函数的平移变换,熟记变换规律是关键,是基础题
6. 设函数上满足以为对称轴,且在上只有,试求方程在根的个数为( )
A. 803个 B. 804个 C. 805个 D. 806个
参考答案:
C
7. 已知α为锐角,cos(α+)=,则sinα=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】两角和与差的正弦函数.
【分析】由条件求得sin(α+),再根据sinα=sin[(α+)﹣α]利用两角差的正弦公式计算求得结果.
【解答】解:∵α为锐角,cos(α+)=,∴α+还是锐角,∴sin(α+)==.
∴sinα=sin[(α+)﹣α]=sin(α+)cos﹣cos(α+)sin=,
故选:D.
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦公式的应用,属于中档题.
8. 以为圆心,为半径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
9. 函数的定义域为( )
A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}
C.{x|x≥1或x≤0} D.{x|0≤x≤1}
参考答案:
略
10. (3分)若,则等于()
A. B. C. D.
参考答案:
B
考点: 平面向量的坐标运算;平面向量坐标表示的应用.
专题: 计算题.
分析: 以和为基底表示,设出系数,用坐标形式表示出两个向量相等的形式,根据横标和纵标分别相等,得到关于系数的二元一次方程组,解方程组即可.
解答: ∵,
∴,
∴(﹣1,2)=m(1,1)+n(1,﹣1)=(m+n,m﹣n)
∴m+n=﹣1,m﹣n=2,
∴m=,n=﹣,
∴
故选B.
点评: 用一组向量来表示一个向量,是以后解题过程中常见到的,向量的加减运算是用向量解决问题的基础,要学好运算,才能用向量解决立体几何问题,三角函数问题等.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数在上恒有||>,则取值范围是________.
参考答案:
12. 已知函数,,若,则__________.
参考答案:
3
略
13. 已知角终边过点P,则 , ,
, 。
参考答案:
14. 已知集合A={x∈R|x2+4x=0}, B={x∈R|x2+2(a+1)x+a2-1=0},如果A∩B=B,求实数a的取值范围.
参考答案:
解:∵ ∴ BA , ………1分
∵ A={0,-4},∴B=Φ,或B={0},或B={-4},或B={0,- 4}………3分
由x2+2(a+1)x+a2-1=0得△=4(a+1)2—4(a2-1)=8(a+1) ………4分
①当a<-1时,则△<0,此时B=φA,显然成立; ………………7分
②当a=-1时△=0,此时B={0}A; ………………………9分
③当a>-1时△>0,要使BA,则A=B
∴0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根
∴,解之得a=1 ……… …………… ………11分
综上可得a≤-1或a=1 ………………12分
略
15. 函数的单调递减区间为__________.
参考答案:
,,
令,则,
,
当,单调递减,
∴的单调减区间为.
16. 函数的最小正周期是______________
参考答案:
略
17. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b.c,且,则B的大小为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知二次函数的二次项系数为a,且不等式的解集为(1,3).
(1) 若方程+6a=0有两个相等的根,求的解析式。
(2) 若的最大值为正数,求a的取值范围。
参考答案:
(1) (2)
略
19. 50名学生参加体能和智能测验,已知体能优秀的有40人,智能优秀的有31人,两项都不优秀的有4人.问这种测验都优秀的有几人?
参考答案:
解析:25人.
20. (本小题12分)
已知函数.
(Ⅰ)判断函数在上的单调性,并用单调性的定义加以证明;
(Ⅱ)若,求函数在上的值域.
参考答案:
(Ⅰ)当时,任取,
因为,,,
所以,得,故函数在上是减函数; 6分
(Ⅱ)当时,由(1)得在上是减函数,
从而函数在上也是减函数,
,.
由此可得,函数在上的值域为. 12分
21. (12分)已知函数f(x)定义在区间(﹣1,1)内,对于任意的x,y∈(﹣1,1)有f(x)+f(y)=f(),且当x<0时,f(x)>0.
(1)判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性,并加以证明;
(2)若f(﹣)=1,求方程f(x)+=0的解.
参考答案:
【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.
【分析】(1)分别令x=y=0,求得f(0)=0,令y=﹣x,结合奇偶性定义即可判断;再由单调性的定义,即可得到f(x)在区间(﹣1,1)内是减函数;
(2)运用奇函数的定义,可令y=x,结合单调性,可得方程=,即可得到方程的解.
【解答】解:(1)令x=y=0,则f(0)=0,令y=﹣x,则f(x)+f(﹣x)=0,
即f(﹣x)=﹣f(x),即函数f(x)为奇函数.
任取x1,x2∈(﹣1,1),且x1<x2,则f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2)=f().
﹣1<x1<x2<1,可得﹣1<x1x2<1,则<0,则f()>0,
即f(x1)>f(x2).则f(x)在区间(﹣1,1)内是减函数.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)
(2)f(x)为奇函数,则f()=﹣1,
又2f(x)=f(x)+f(x)=f(),且f(x)+=0,
即2f(x)+1=0,2f(x)=﹣1.则f()=f().
f(x)在区间(﹣1,1)内是单调函数,
可得=.
即x=2﹣或x=2+(舍).
故方程的解为2﹣.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用,注意运用定义法,考查推理和运算能力,属于中档题.
22. 已知是定义在R上的奇函数,且当时,.
(1)求的函数解析式;
(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1)因为是定义在上的奇函数,所以当时,,,又,所以的函数解析式为.
(2)当时,,在上是增函数,因为是定义在上的奇函数,在上是增函数,所以恒成立,恒成立,
由于函数在上单调递增,
所以,即,即