湖北省荆门市何场中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 等比数列{an}的前n项和为Sn,若公比,,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
设等比数列的首项为,由;;
所以,即.故选C.
2. 已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,给出四个命题:
①若,则 ②若,则
③若,则 ④若,则
其中正确的命题是
A.①② B.②③ C.①④ D.②④
参考答案:
3. 设,那么( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
4. 定义[x]表示不超过x的最大整数,例如[2.11]=2,[﹣1.39]=﹣2,执行如下图所示的程序框图,则输出m的值为
( )
A. B. C.D.
参考答案:
B
【考点】程序框图.
【分析】模拟程序的运行,依据程序逐级运算,并通过判断条件n<7?调整运算的继续与结束,即可计算得解.
【解答】解:模拟程序的运行,可得
m=3,n=1
[3]=3为奇数,m=,n=3
满足条件n<7,执行循环体,[]=6不为奇数,m=,n=5
满足条件n<7,执行循环体,[]=6不为奇数,m=,n=7
不满足条件n<7,退出循环,输出m的值为.
故选:B.
5. 已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0.5,两个路口连续遇到红灯的概率为0.4,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率为( )
A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9
参考答案:
C
【考点】条件概率与独立事件.
【分析】由题意可知P(A)=0.5,P(AB)=0.4,利用条件概率公式可求得P(B丨A)的值.
【解答】解:设第一个路口遇到红灯概率为A,第二个路口遇到红灯的事件为B,
则P(A)=0.5,P(AB)=0.4,
则P(B丨A)==0.8,
故答案选:C.
6. 已知集合,,则( )
A.{1} B.{-1,1,3} C.{-3,-1,1} D.{-3,-1,1,3}
参考答案:
C
7. 若存在实数x,y使不等式组与不等式都成立,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
由题意作出其平面区域,表示了直线上方的部分,
故由,解得x=3,y=3,
所以3-3×2+m≤0,解得m≤3.
本题选择B选项.
点睛:简单的线性规划有很强的实用性,线性规划问题常有以下几种类型:(1)平面区域的确定问题;(2)区域面积问题;(3)最值问题;(4)逆向求参数问题.而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值.
若目标函数中含有参数,则一般会知道最值,此时要结合可行域,确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点(即最优解),将点的坐标代入目标函数求得参数的值.
8. 已知实数满足等式下列五个关系式① ②
③ ④ ⑤, 其中不可能成立的关系式有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
B
9. 已知函数f(x)=Asin(2x+φ)﹣(A>0,0<φ<)的图象在y轴上的截距为1,且关于直线x=对称,若对于任意的x∈[0,],都有m2﹣3m≤f(x),则实数m的取值范围为( )
A.[1, ] B.[1,2] C.[,2] D.[,]
参考答案:
B
【考点】H2:正弦函数的图象.
【分析】利用函数y=Asin(ωx+φ)+B的图象和性质,正弦函数的定义域和值域,求得实数m的取值范围.
【解答】解:∵函数f(x)=Asin(2x+φ)﹣(A>0,0<φ<)的图象在y轴上的截距为1,
∴Asinφ﹣=1,即Asinφ=.
∵函数f(x)=Asin(2x+φ)﹣的图象关于直线x=对称,∴2?+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=,
∴A?sin=,∴A=,∴f(x)=sin(2x+)﹣.
对于任意的x∈[0,],都有m2﹣3m≤f(x),
∵2x+∈[,],sin(2x+)∈[﹣,1], sin(2x+)∈[﹣,],f(x)∈[﹣2,﹣1],
∴m2﹣3m≤﹣2,求得1≤m≤2,
故选:B.
10. 如图,在平面直角坐标系xOy中,角的顶点与坐标原点重
合,始边与x轴的非负半轴重合,它们的终边分别与单位圆相交于A,B
两点,若点A,B的坐标为和,则的值为
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数(,), 有下列命题:
①的图象关于y轴对称;
②的最小值是2 ;
③在上是减函数,在上是增函数;
④没有最大值.
其中正确命题的序号是 . (请填上所 有正确命题的序号)
参考答案:
①④
12. 函数y=lg(1﹣)+的定义域是 .
参考答案:
[log23,+∞)
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】根据函数成立的条件,即可求出函数的定义域.
【解答】解:要使函数有意义,则,
即,
∴x≥log23,
即函数的定义域为[log23,+∞),
故答案为:[log23,+∞)
13. 在中,角A、B、C的对边边长分别是a、b、c,若,,,则c的值为 .
参考答案:
2
∵,∴,∴,∴,∴,
∴.
14. 已知函数(x∈R)上任一点处的切线斜率,则该函数的单调递增区间为 ____
参考答案:
15. 已知二项式的展开式中第3项的系数是,数列是公差为的等差数列,且前项和为,则= .
参考答案:
16. (文)函数,其中,若动直线与函数的图像有三个不同的交点,则实数的取值范围是______________.
参考答案:
由得,即,解得或。即,,所以,所以由图象可知要使直线与函数的图像有三个不同的交点,则有,即实数的取值范围是。
17. 已知长方形ABCD中,AB=4,BC=1,M为AB的中点,则在此长方形内随机取一点P,P与M的距离小于1的概率为 .
参考答案:
【考点】CF:几何概型.
【分析】本题利用几何概型解决,这里的区域平面图形的面积.欲求取到的点P到M的距离大于1的概率,只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可.
【解答】解:根据几何概型得:
取到的点到M的距离小1的概率:
p==
==.
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
在直角坐标系中,已知,,为坐标原点,,.
(Ⅰ)求的对称中心的坐标及其在区间上的单调递减区间;
(Ⅱ)若,,求的值。
参考答案:
解:,,
则……… …………………2分
……………… ………………4分
(Ⅰ)由,即对称中心是
当时单调递减,即
的单调递减是………… …………6分
在区间上的单调递减区间为.………………………………………8分
(Ⅱ)
……………………………………10分
。………… ………………………12分
19. (12分)三棱锥P﹣ABC中,PA=PB=PC,∠ACB=90°,AC=CB=2.
(Ⅰ)求证:平面PAB⊥平面ABC;
(Ⅱ)当∠PCB=60°时,求三棱锥A﹣PCB的体积.
参考答案:
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)=.
(Ⅰ)作PO⊥平面ABC于点O,
∵PA=PB=PC,
∴OA=OB=OC,即O为△ABC的外心,
又∵△ABC中,∠ACB=90°,
故O为AB边的中点,
所以PO?平面PAB,
所以平面PAB⊥平面ABC.…(6分)
(Ⅱ)∵PA=PB=PC,∠PCB=60°,∴△PCB为正三角形,
∵AC=CB=2,∴PA=PB=PC=2,
∴OA=PO=,
∴三棱锥A﹣PCB的体积VA﹣PCB=VP﹣ACB=?PO
=
=
=.…(12分)
20. 已知函数,函数其中
(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)求在上的最大值(为自然对数底数).
参考答案:
(Ⅰ) 解: 因为
由 ,解得:……………………………………………………3分
因为
所以 的极大值为,无极小值.………………………………………7分
(Ⅱ) 因为在上是增函数,
所以 ……………………………………………………10分
在上是增函数
所以 ……………………………………………………13分
所以 ……………………………………………15分
21. (本小题满分12分)如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0,)B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点。
(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率;
(2)求这3点与原点O共面的概率。
参考答案:
22. 若的图像与直线相切,并且切点横坐标依次成公差为的等差数列.
(1)求和的值;
(2) ⊿ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。若是函数 图象的一个对称中心,且a=4,求⊿ABC面积的最大值。
参考答案:
解:(1)= ………………3分
由题意,函数的周期为,且最大(或最小)值为,而,
所以, ………… ……………………6分
(2)∵(是函数图象的一个对称中心 ∴
又因为A为⊿ABC的内角,所以 ………… ……………………8分
所以(当且仅当时取等号)……………10分
(当且仅当时取到最大值) ……………12分
略