湖北省荆门市外语学校高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知等差数列中,有,且该数列的前项和有最大值,则使得 成立的的最大值为( )
A.11 B.19 C. 20 D.21
参考答案:
B
略
2. 已知集合A={1,2,3},,则A∩B=
A. {-2,-1,0,1,2,3} B. {-2,-1,0,1,2} C. {1,2,3} D. {1,2}
参考答案:
D
【分析】
求出集合中的范围确定出,再求和的交集即可
【详解】
则
故选
【点睛】本题主要考查了集合的运算法则及其交集运算,求出集合中的范围确定出是解题的关键,属于基础题。
3. 双曲线的渐近线是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
4. 公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于( )
A.18 B.24 C.60 D.90
参考答案:
C
【考点】等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.
【分析】由等比中项的定义可得a42=a3a7,根据等差数列的通项公式及前n项和公式,列方程解出a1和d,进而求出s10.
【解答】解:∵a4是a3与a7的等比中项,
∴a42=a3a7,
即(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),
整理得2a1+3d=0,①
又∵,
整理得2a1+7d=8,②
由①②联立,解得d=2,a1=﹣3,
∴,
故选:C.
5. 已知f(x)在R上是奇函数,且满足,当时,,则等于( )
A. -98 B. -2 C. 2 D. 98
参考答案:
C
【分析】
由,得函数是以4为周期的周期函数,得到,即可求解,得到答案.
【详解】由题意知,函数满足,所以函数是以4为周期的周期函数,
所以,
又由时,,所以
【点睛】本题主要考查了函数的周期性的应用,其中解答中根据,得到函数是以4为周期的周期函数是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
6. 已知2016-2018年文科数学全国Ⅱ卷中各模块所占分值百分比大致如图所示:
给出下列结论:
①选修1-1所占分值比选修1-2小;
②必修分值总和大于选修分值总和;
③必修1分值大致为15分;
④选修1-1的分值约占全部分值的.
其中正确的是( )
A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ②④
参考答案:
C
【分析】
由对图表信息的分析、成立结合百分比逐一运算即可得解.
【详解】解:对于①,选修1-1所占分值比为20%选修1-2所占分值比为6.8%即选修1-1所占分值比选修1-2大;
对于②,必修分值总和为66.5%大于选修分值总和33.5%,即必修分值总和大于选修分值总和;
对于③,必修1分值大致为150×10%=15分;
对于④,选修1-1的分值约占全部分值的=.
即正确的是②③④,
故选C.
【点睛】本题考查了对图表信息的分析处理能力,属基础题.
7. 函数的极大值是( )
A. 2 B. C. 2和 D. 不存在
参考答案:
B
8. 下列四个命题:
①命题“若,则”的逆否命题为“若,则”;
②“”是“”的充分不必要条件;
③若为假,为真,则有且仅有一个是真命题;
④对于命题,使得,则,使得.
其中,正确的命题个数为( )
A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个
参考答案:
D
9. 对于常数、,“”是“方程的曲线是椭圆”的( )条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要.
参考答案:
B
10. 设函数=2+3,,则的表达式是 ( )
A. =2+1 B. =2-1
C. = 2-3 D. =2+7
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数,下列结论中正确的是
①R, ②函数的图像是中心对称图形
③若是的极小值点,则在区间上单调递减
④若是的极值点,则
参考答案:
略
12. 函数的导数为________________
参考答案:
13. 设集合,B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R},若A∩B≠?,则实数m的取值范围是 .
参考答案:
[,2+]
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】根据题意可把问题转换为圆与直线有交点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,进而联立不等式组求得m的范围.
【解答】解:依题意可知,若A∩B≠?,则A≠?,
必有,解可得m≤0或m≥,
此时集合A表示圆环内点的集合或点(2,0),集合B表示与x+y=0平行的一系列直线的集合,要使两集合不为空集,需至少一条直线与圆有交点或点在某一条直线上,
①m=0时,A={(2,0)},B={(x,y)|0≤x+y≤1},
此时A∩B=?,不合题意;
②当m<0时,有||<﹣m或||<﹣m;
则有﹣m>﹣m,或﹣m>﹣m,
又由m<0,则(﹣1)m<,可得A∩B=?,不合题意;
③当m≥时,有||≤m或||≤m,
解可得:2﹣≤m≤2+,1﹣≤m≤1+,
又由m≥,则m的范围是[,2+];
综合可得m的范围是[,2+];
故答案为[,2+].
14. 设直线参数方程为(t为参数),则它的斜截式方程为 .
参考答案:
【考点】QH:参数方程化成普通方程.
【分析】先利用消参法消去参数t,即可将直线的参数方程化成直线的普通方程.
【解答】解:∵直线l的参数方程为(t为参数),
∴消去参数t得,
则它的斜截式方程为,
故答案为:.
15. 已知,则a的值为 .
参考答案:
16. 若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b等于 .
参考答案:
2
17. 设常数,若的二项展开式中项的系数为-10,则________.
参考答案:
-2
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆=1 ()的离心率. 直线()与曲线交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆,圆心为.
⑴求椭圆的方程; ⑵若圆与轴相交于不同的两点,且的面积为,求圆的标准方程.
参考答案:
解:(1)∵椭圆的离心率, ∴ . 解得.
∴ 椭圆的方程为.
(2)依题意,圆心为.
由 得. ∴ 圆的半径为.
∵ 圆与轴相交于不同的两点,且圆心到轴的距离,
∴ ,即. ∴ 弦长. ∴的面积. ∴ 圆的标准方程为.
19. (10分已知直线l经过点P(1,1),倾斜角,
(1)写出直线l的参数方程。
(2)设l与圆相交与两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积。
参考答案:
解:(1)直线的参数方程是
(2)因为点A,B都在直线l上,所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A,B的坐标分别为
以直线L的参数方程代入圆的方程整理得到
①
因为t1和t2是方程①的解,从而t1t2=-2。
所以|PA|·|PB|= |t1t2|=|-2|=2。
略
20. (本小题满分12分)已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162,求:
(Ⅰ)n的值;
(Ⅱ)展开式中含x3的项.
参考答案:
21. 已知函数f(x)=?﹣, =(sinx,cosx),=(cosx,﹣cosx).
(1)求函数y=f(x)在x∈[0,]时的值域;
(2)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足c=2,a=3,f(B)=0,求边b的值.
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】(1)根据平面向量的数量积与三角函数的恒等变换,求出f(x)的解析式,再求f(x)在[0,]取值范围即可;
(2)利用f(B)=0求出B的值,再由余弦定理求出b的值.
【解答】解:(1)∵=(sinx,cosx),=(cosx,﹣cosx),
∴f(x)=?﹣
=sinxcosx﹣cos2x﹣
=sin2x﹣cos2x﹣1
=sin(2x﹣)﹣1,…4分
∵x∈[0,],
∴2x﹣∈[﹣,],
∴sin(2x﹣)∈[﹣,1],
∴函数f(x)在[0,]的值域为[﹣,0];…8分
(2)因为f(B)=0,即sin(2B﹣)=1,
∵B∈(0,π),∴2B﹣∈(﹣,),
∴2B﹣=,解得B=;…10分
又有c=2,a=3,
在△ABC中,由余弦定理得:
b2=c2+a2﹣2accos=4+9﹣2×2×3×=7,
即b=.…14分.
22. 如图,单位正方形OABC在二阶矩阵T的作用下,变成菱形OA1B1C1.
(1)求矩阵T;
(2)设双曲线F:x2﹣y2=1在矩阵T对应的变换作用下得到曲线F′,求曲线F′的方程.
参考答案:
解:(1)设T=,
由=,解得
由=,解得
所以T=.
(2)设曲线F上任意一点P(x,y)在矩阵T对应的变换作用下变为P′(x′,y′),则
=,即,所以
因为x2﹣y2=1,
所以(2x′﹣y′)2﹣(2y′﹣x′)2=9,即x′2﹣y′2=3,
故曲线F′的方程为x2﹣y2=3.
略