湖北省荆州市郑公中学2023年高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 给出一个如图所示的流程图,若要使输入的x值与输出的y值相等,则这样的x值的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
【考点】选择结构.
【专题】图表型;分类讨论.
【分析】由已知的流程图,我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序,我们根据条件,分x≤2,2<x≤5,x>5三种情况分别讨论,满足输入的x值与输出的y值相等的情况,即可得到答案.
【解答】解:当x≤2时,由x2=x得:x=0,1满足条件;
当2<x≤5时,由2x﹣3=x得:x=3,满足条件;
当x>5时,由=x得:x=±1,不满足条件,
故这样的x值有3个.
故选C.
【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,我们要先分析流程图(或伪代码)判断其功能,并将其转化为数学问题,建立数学模型后,用数学的方法解答即可得到答案.
2. 是第二象限角,为其终边上一点且,则x的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )
A.9日 B.8日 C.16日 D.12日
参考答案:
A
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】良马每日行的距离成等差数列,记为{an},其中a1=103,d=13;驽马每日行的距离成等差数列,记为{bn},其中b1=97,d=﹣0.5.求和即可得到答案.
【解答】解:由题意知,良马每日行的距离成等差数列,
记为{an},其中a1=103,d=13;
驽马每日行的距离成等差数列,
记为{bn},其中b1=97,d=﹣0.5;
设第m天相逢,则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm
=103m++97m+=2×1125,
解得:m=9.
故选:A.
【点评】本题考查了等差数列在实际问题中的应用,属于基础题.
4. 函数处的切线方程是( )
A.4πx+16y﹣π2=0 B.4πx﹣16y﹣π2=0 C.4πx+8y﹣π2=0 D.4πx﹣8y﹣π2=0
参考答案:
C
【考点】62:导数的几何意义;63:导数的运算.
【分析】先利用导数的几何意义,求出k=y′|x=,再利用直线的点斜式求出切线方程.
【解答】解:∵y′=cos2x﹣2xsin2x,
∴,
整理得:4πx+8y﹣π2=0,
故选C.
5. 函数上点(1,-1)处的切线方程为( ).
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
6. 在中,已知,,,则的面积等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
7. 若直线垂直于直线,则直线的倾斜角是
A. B. C. D.不存在
参考答案:
B
8. 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的体积为( )
A. B. C.π D.
参考答案:
A
考点:由三视图求面积、体积.
专题:计算题.
分析:由三视图可判断这个几何体为圆柱体,根据题意可知底面半径以及高,易求体积.
解答:解:由三视图可知这个几何体是圆柱体,且底面圆的半径,高为1,
那么圆柱体的体积是:π×()2×1=,
故选A.
点评:本题考查三视图求几何体的体积,考查计算能力,空间想象能力,三视图复原几何体是解题的关键
9. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为( )
A. -10 B. 6
C. 14 D. 18
参考答案:
B
模拟法:输入;
不成立;
不成立
成立
输出,故选B.
考点:本题主要考查程序框图与模拟计算的过程.
10. 若不等式在内恒成立,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A 解析: 在恒成立,得,
则。(另可画图做)
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 椭圆上一点与椭圆的两个焦点连线的夹角为直角,则 .
参考答案:
12. 已知正项等比数列满足,若存在两项使得,
则的最小值为 。
参考答案:
13. 已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),且a⊥b,则x=________.
参考答案:
1
14. 如图:以等边三角形两顶点为焦点且过另两腰中点的椭圆的离心率e= ;
参考答案:
15. 已知,则的末两位是 .
参考答案:
49
略
16. 在四面体中,则二面角的大小为__________.
参考答案:
60°
略
17. 已知函数,则 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),曲线C2的参数方程为(为参数).
(1)将C1,C2的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线?
(2)以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为.若C1上的点P对应的参数为,点Q在C2上,点M为PQ的中点,求点M到直线l距离的最小值.
参考答案:
(1)表示以为圆心,1为半径的圆,表示焦点在轴上的椭圆;(2).
试题分析:(1)分别将曲线、的参数方程利用平方法消去参数,即可得到,的方程化为普通方程,进而得到它们分别表示什么曲线;(2),利用点到直线距离公式可得到直线的距离,利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.
试题解析:(1)的普通方程为,它表示以为圆心,1为半径的圆,
的普通方程为,它表示中心在原点,焦点在轴上的椭圆.
(2)由已知得,设,则,
直线:,
点到直线的距离,
所以,即到的距离的最小值为.
19. (本小题满分14分)已知点(1,2)是函数的图象上一点,数列的前项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
参考答案:
(Ⅰ)把点代入函数得.
所以数列的前项和为.
...............3分
当时,
当时, 对时也适合 .
...............6分
(Ⅱ)由得,所以.
...........8 分
, ①
, ②
由① - ② 得,, ............12分
所以 . .......................................14分
20. 甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得分,负者得分,比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量的分布列和数学期望.
参考答案:
略
21. (本小题满分12分)在平面直角坐标系中,已知圆和圆.
(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;
(2)设为平面上的点,满足:存在过点的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点的坐标。
参考答案:
(1)设直线的方程为,即
由垂径定理得圆心到直线的距离
结合点到直线的距离公式得
解得
所求直线的方程为或,即或
(2)设点,直线的方程分别为
即
由题意可知圆心到直线的距离等于到直线的距离
即,化简得
关于的方程由无穷多解,则有,
故
22. 如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值;
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
参考答案:
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(1)由题意,联立方程组,根据判别式从而求实数b的值;
(2)求出点A的坐标,因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离,问题得以解决.
【解答】解:(1)由得x2﹣4x﹣4b=0,①
因为直线l与抛物线C相切,所以△=(﹣4)2﹣4×(﹣4b)=0,
解得b=﹣1.
(2)由(1)可知b=﹣1,故方程①即为x2﹣4x+4=0,解得x=2,代入x2=4y,得y=1.
故点A(2,1),
因为圆A与抛物线C的准线相切,
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离,即r=|1﹣(﹣1)|=2,
所以圆A的方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=4.
【点评】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想.