湖北省荆州市马家寨中学2022-2023学年高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 过点A(2,b)和点B(3,﹣2)的直线的斜率为﹣1,则b的值是( )
A.5 B.1 C.﹣5 D.﹣1
参考答案:
D
【考点】直线的斜率.
【分析】利用斜率计算公式即可得出.
【解答】解:由题意可得: =﹣1,解得b=﹣1.
故选:D.
2. “是无限不循环小数,所以是无理数”,以上推理( )
A. 缺少小前提,小前提是无理数都是无限不循环小数
B. 缺少大前提,大前提是无理数都是无限不循环小数
C. 缺少小前提,小前提是无限不循环小数都是无理数
D. 缺少大前提,大前提是无限不循环小数都是无理数
参考答案:
D
3. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10,则的值为( )
A. B.﹣2 C.﹣2或 D.不存在
参考答案:
A
【考点】函数在某点取得极值的条件.
【分析】由于f′(x)=3x2+2ax+b,依题意知,f′(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b﹣a2﹣7a=10,于是有b=﹣3﹣2a,代入f(1)=10即可求得a,b,从而可得答案.
【解答】解:∵f(x)=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a,
∴f′(x)=3x2+2ax+b,
又f(x)=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10,
∴f′(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b﹣a2﹣7a=10,
∴a2+8a+12=0,
∴a=﹣2,b=1或a=﹣6,b=9.
当a=﹣2,b=1时,f′(x)=3x2﹣4x+1=(3x﹣1)(x﹣1),
当<x<1时,f′(x)<0,当x>1时,f′(x)>0,
∴f(x)在x=1处取得极小值,与题意不符;
当a=﹣6,b=9时,f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3)
当x<1时,f′(x)>0,当1<x<3时,f′(x)<0,
∴f(x)在x=1处取得极大值,符合题意;
∴=﹣=﹣.
故选A.
4. 设f(x)=ax3+3x2+2,若f′(﹣1)=4,则a的值等于( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
D
考点:
导数的运算.3804980
专题:
计算题.
分析:
先求出导函数,再代值算出a.
解答:
解:f′(x)=3ax2+6x,
∴f′(﹣1)=3a﹣6=4,∴a=
故选D.
点评:
本题是对导数基本知识的考查,属于容易题,在近几年的高考中,对于导数的考查基本围绕导数的计算和导数的几何意义展开,是考生复习时的重点内容.
5. 已知,则的最小值为( )
A、2 B、3 C、4 D、5
参考答案:
B
略
6. 球 为边长为2的正方体的内切球, 为球的球面上动点, 为 中点,,则点的轨迹周长为 ( ).
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 设是函数定义在(0,+∞)上的导函数,满足,则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【分析】
由题意构造函数,结合函数的解析式和导函数的符号可确定函数的单调性,由函数的单调性即可确定题中所给的不等式是否正确.
【详解】是函数定义在(0,+∞)上的导函数,满足,
可得,
令,则,
∴函数在(0,+∞)上单调递增.
∴,
∴.
故选:B.
【点睛】本题考查函数与导数的应用,正确构造函数,熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键.
8. 若,满足约束条件,则目标函数的最大值是
. . . .
参考答案:
.
实数,满足不等式组,则可行域如图,
作出,平移,当直线通过时, 的最大值是;故选.
9. “双曲线的一条渐近线方程为 ”是“双曲线的方程为”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.不充分不必要条件
参考答案:
B
略
10. 已知命题,则是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数的导函数为,且,则=_______.
参考答案:
-32
设,则,所以,,
令,求得,故,
因此,,
则有,得.
12. 已知数列{an}的前n项和Sn=n3﹣n2,则a10= .
参考答案:
252
考点: 数列的函数特性
专题: 函数的性质及应用.
分析: 直接利用已知条件求出a10=S10﹣S9的结果即可.
解答: 解:数列{an}的前n项和Sn=n3﹣n2,则a10=S10﹣S9=103﹣102﹣(93﹣92)=252.
故答案为:252.
点评: 本题考查数列的函数的特征,基本知识的考查
13. 计算: ________.
参考答案:
1
14. 双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,左、右顶点为A1、A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B、C两点,若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线斜率为 .
参考答案:
±1
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】求得A1(﹣a,0),A2(a,0),B(c,),C(c,﹣),利用A1B⊥A2C,可得=﹣1,求出a=b,即可得出双曲线的渐近线的斜率.
【解答】解:由题意,A1(﹣a,0),A2(a,0),B(c,),C(c,﹣),
∵A1B⊥A2C,
∴=﹣1,
∴a=b,
∴双曲线的渐近线的斜率为±1.
故答案为:±1.
15. 若抛物线的焦点坐标为(1,0)则=__;(2分)准线方程为_ _.(3分)
参考答案:
2 ,
略
16. (几何证明选讲选做题)如图所示, 圆的内接△ABC的∠C的平分线CD延长后交圆于点E, 连接BE,已知BD=3,CE=7,BC=5,则线段BE= .
参考答案:
因为EC平分∠ACB, 所以∠ACE=∠ECB,又因为∠ACE=∠ABE,所以∠ABE=∠ECB,所以∽,, .
17. 如果方程﹣ =1表示双曲线,那么实数m的取值范围是 .
参考答案:
(﹣1,1)∪(2,+∞)
【考点】双曲线的标准方程.
【分析】方程表示双曲线的充要条件是mn<0.
【解答】解:∵方程﹣=1表示双曲线,
∴(|m|﹣1)(m﹣2)>0,
解得﹣1<m<1或m>2,
∴实数m的取值范围是(﹣1,1)∪(2,+∞).
故答案为:(﹣1,1)∪(2,+∞).
【点评】本题考查双曲线的定义,是基础题,解题时要熟练掌握双曲线的简单性质.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在中,角所对的边分别为,且满足,. (1)求的面积; (2)若,求的值.
参考答案:
解析:(I)因为,,又由,得,
(II)对于,又,或,由余弦定理得,
19. 已知复数z1=1+ai(其中a>0),且z12为纯虚数.
(Ⅰ)求复数z1;
(Ⅱ)若z2=,求复数z2的模|z2|.
参考答案:
考点:复数求模;复数代数形式的乘除运算.
专题:数系的扩充和复数.
分析:(Ⅰ)利用复数的乘方以及复数的基本概念,虚部不为0实部为0,即可求复数z1;
(Ⅱ)化简z2=为a+bi的形式,即可直接求解复数z2的模|z2|.
解答: 满分.
解:(Ⅰ),
∵为纯虚数∴1﹣a2=0,….
又∵a>0
∴a=1,
∴z1=1+i. …
(Ⅱ),…
∴. …
点评:本题主要考查复数的有关概念及四则运算等基本知识.考查概念识记、运算化简能力.
20. 已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)是否存在a,b,使得在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.
参考答案:
(1)见详解;(2) 或.
【分析】
(1)先求的导数,再根据的范围分情况讨论函数单调性;(2) 根据的各种范围,利用函数单调性进行最大值和最小值的判断,最终得出,的值.
【详解】(1)对求导得.所以有
当时,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增;
当时,区间上单调递增;
当时,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增.
(2)若在区间有最大值1和最小值-1,所以
若,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增;
此时在区间上单调递增,所以,代入解得,,与矛盾,所以不成立.
若,区间上单调递增;在区间.所以,代入解得 .
若,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增.
即在区间单调递减,在区间单调递增,所以区间上最小值为
而,故所以区间上最大值为.
即相减得,即,又因为,所以无解.
若,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增.
即在区间单调递减,在区间单调递增,所以区间上最小值为
而,故所以区间上最大值为.
即相减得,解得,又因为,所以无解.
若,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增.
所以有区间上单调递减,所以区间上最大值为,最小值为
即解得.
综上得或.
【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题,题目难度比往年降低了不少。考查的函数单调性,最大值最小值这种基本概念的计算。思考量不大,由计算量补充。
21. 已知双曲线C与椭圆有相同的焦点,实半轴长为.
(I)求双曲线的方程;
(II)若直线与双曲线有两个不同的交点和,且(其中为原点),求的取值范围.
参考答案:
略
22. 我们将侧棱和底面边统称为棱,则三棱锥有4个面,6条棱,4个顶点,如果面数记作,棱数记作,顶点数记作,那么,,之间有什么关系?再用三棱柱,四棱台检验你得到的关系式,你知道这是个什么公式?
参考答案:
解析:这个是欧拉式.