湖北省荆门市绿林文武中学2022年高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 ( )
A.+|g(x)|是偶函数 B.-|g(x)|是奇函数
C.|| +g(x)是偶函数 D.||- g(x)是奇函数
参考答案:
A
2. 对数函数的图象过点M(16,4),则此对数函数的解析式为( )
A.y=log4x B.y=logx
C.y=logx D.y=log2x
参考答案:
D
3. 已知函数的一段图像如图所示,△的顶点与坐标原点重合,是的图像上一个最低点,在轴上,若内角所对边长为, 且△的面积满足,将右移一个单位得到,则 的表达式为
参考答案:
A
4. 已知,为同一平面内的两个向量,且=(1,2),||=||,若+2与2﹣垂直,则与的夹角为( )
A.0 B. C. D.π
参考答案:
D
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】对应思想;综合法;平面向量及应用.
【分析】计算||,||,根据向量垂直列方程得出,代入向量的夹角公式计算夹角余弦.
【解答】解:||=,||=,
∵(+2)⊥(2﹣),
∴(+2)?(2﹣)=2+3﹣2=0,即10+3﹣=0,
∴=﹣.
∴cos<,>==﹣1.
∴<,>=π.
故选:D.
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,向量垂直与向量数量积的关系,属于中档题.
5. 设是平面内两条不同的直线,是平面外的一条直线,则“,且”是“的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
6. 已知集合,集合,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. (5分)若x,y满足约束条件:;则x﹣y的取值范围为( )
A. [0,3] B. [0,] C. [﹣,0] D. [﹣3,0]
参考答案:
D
【考点】: 简单线性规划.
【专题】: 不等式的解法及应用.
【分析】: 由约束条件作出可行域,令z=x﹣y,化为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.
解:由约束条件作出可行域如图,
令z=x﹣y,则y=x﹣z,
联立,得.
∴B(1,1),
又C(0,3),
由图可知,当直线过B时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值为0;
当直线过C时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为﹣3.
∴x﹣y的取值范围为[﹣3,0].
故选:D.
【点评】: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
8. 已知,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 执行如图所示的程序框图,输出的z值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
D
【考点】程序框图.
【专题】操作型;算法和程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环累乘循环变量a值,并输出满足条件的累乘积关于2的对数值,模拟程序的运行过程,用表格将程序运行过程中变量的值的变化情况进行分析,不难给出答案.
【解答】解:执行循环体前,S=1,a=0,不满足退出循环的条件,执行循环体后,S=1×20=20,a=1,
当S=2°,a=1,不满足退出循环的条件,执行循环体后,S=1×21=21,a=2
当S=21,a=2,不满足退出循环的条件,执行循环体后,S=21×22=23,a=3
当S=23,a=3,不满足退出循环的条件,执行循环体后,S=23×23=26,a=4
当S=26,a=4,满足退出循环的条件,
则z==6
故输出结果为6
故选:D
【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是:①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模.
10. 某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100).若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是( )
A.45 B.50 C.55 D.60
参考答案:
B
【考点】频率分布直方图.
【分析】由已知中的频率分布直方图,我们可以求出成绩低于60分的频率,结合已知中的低于60分的人数是15人,结合频数=频率×总体容量,即可得到总体容量.
【解答】解:∵成绩低于60分有第一、二组数据,
在频率分布直方图中,对应矩形的高分别为0.005,0.01,
每组数据的组距为20,
则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3,
又∵低于60分的人数是15人,
则该班的学生人数是=50.
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示.从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根,则其棉花纤维的长度小于20mm的概率为 .
参考答案:
考点:
古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图.
专题:
计算题;概率与统计.
分析:
结合频率分步直方图分析可得,棉花纤维的长度小于20mm的有三组,计算可得每一组包含的棉花纤维的数目,将其相加即可得长度小于20mm的棉花纤维的数目,由等可能事件的概率公式,计算可得答案.
解答:
解:根据题意,棉花纤维的长度小于20mm的有三组,
[5,10)这一组的频率为5×0.01=0.05,有100×0.05=5根棉花纤维在这一组,
[10,15)这一组的频率为5×0.01=0.05,有100×0.05=5根棉花纤维在这一组,
[15,20)这一组的频率为5×0.04=0.2,有100×0.2=20根棉花纤维在这一组,
则长度小于20mm的有5+5+20=30根,
则从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根,其长度小于20mm的概率为=;
故答案为.
点评:
本题考查频率分步直方图的应用,涉及古典概型的计算;关键是
12.
若,则; .
参考答案:
答案:3 ,
13. 如图是一个算法的流程图,若输入x的值为2,则输出y的值为_____.
参考答案:
【知识点】程序框图.菁L1
7 解析:执行一次循环,y=3,x=2,不满足|y﹣x|≥4,故继续执行循环;
执行第二次循环,y=7,x=3,满足|y﹣x|≥4,退出循环
故输出的y值为7,故答案为:7
【思路点拨】利用循环结构,直到条件不满足退出,即可得到结论.
14. 如图:抛物线的焦点为F , 原点为O ,直线AB 经过点F ,抛物线的准线与x 轴交于点C ,若,则= ________.
参考答案:
15. 已知圆锥的母线长为5cm,侧面积为,则此圆锥的体积为________.
参考答案:
16
16. 函数是周期为2的奇函数,当,
则
参考答案:
2
17. 函数的定义域为,值域为,则的最小值为___________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
已知函数
(1)求曲线 在点 处的切线方程;
(2)证明:当时, .
参考答案:
19. (本小题满分12分)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)
(1)从这15天的PM2.5日均监测数据中,随机抽出三天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;
(2)从这15天的数据中任取三天数据,记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求的分布列;
(3)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。
参考答案:
(1)记“从15天的PM2.5日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一级”为事件,
. ……………………4分
(2)依据条件,服从超几何分布:其中,的可能值为,其分布列为:.……………………7分
……………………9分
(3)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为,……………………10分
一年中空气质量达到一级或二级的天数为,则~
,一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级。……12分
【解析】略
20. 已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣2cosθ﹣4sinθ=0,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,设直线l的参数方程是(t是参数).
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,将直线l的参数方程化为普通方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,与y轴交于点E,求|EA|+|EB|.
参考答案:
略
21. 四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3, CD=DA=2.
(I)求C和BD;
(II)求四边形ABCD的面积。
参考答案:
(1) (2)
(1)
(2)
22. 已知函数f(x)=xlnx﹣x2(a∈R).
(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数g(x)=f(x)﹣x有两个极值点x1、x2,是否存在实数a,使得=g′(a)成立,若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程;6E:利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(1)求出导数,求得切线的斜率和切点坐标,由点斜式方程即可得到切线方程;
(2)求出g(x)的导数,由题意可得即g′(x)=0有两个不同的实根.设h(x)=lnx﹣ax,求出导数,对a讨论,当a≤0时,当a>0时,求得单调区间得到最大值,令最大值大于0,解得a的范围0<a<,即可判断不存在实数a.
【解答】解:(1)若a=2,则f(x)=xlnx﹣x2,导数f′(x)=1+lnx﹣2x,
又f(1)=﹣1,f′(1)=﹣1,
即有曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+1=﹣(x﹣1),
即为y=﹣x;
(2)g′(x)=f′(x)﹣1=lnx﹣ax,g(x)=f(x)﹣x有两个极值点x1、x2,
即g′(x)=0有两个不同的实根.
设h(x)=lnx﹣ax,h′(x)=﹣a,
当a≤0时,h′