湖北省荆门市金龙泉实验中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,a=2,c=,则C=
A. B. C. D.
参考答案:
B
【详解】试题分析:根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可
详解:sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
∵sinB+sinA(sinC﹣cosC)=0,
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0,
∴cosAsinC+sinAsinC=0,
∵sinC≠0,
∴cosA=﹣sinA,
∴tanA=﹣1,
∵<A<π,
∴A= ,
由正弦定理可得,
∵a=2,c=,
∴sinC== ,
∵a>c,
∴C=,
故选B.
点睛:本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用,属于难题.在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
2. 设集合A={1,2,4,6,8},B={1,2,3,5,6,7},则A∩B的子集个数为( )
A.3 B.6 C.8 D.16
参考答案:
C
【考点】子集与真子集.
【专题】集合.
【分析】先求得A∩B={1,2,6},再根据含n的元素的集合的子集个数共有2n个,得出结论.
【解答】解:由于A∩B={1,2,6},含有3个元素,故它的自己个数为23=8,
故选:C.
【点评】本题主要考查求两个集合的交集,子集个数的运算,利用含n的元素的集合的子集个数共有2n个,属于基础题.
3. 若正数,满足,且对任意,恒成立,则的取值范围是--------( ★ )
A., B., C., D.,
参考答案:
D
4. 则( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
略
5. 若a,b都是实数,则“”是“a2﹣b2>0”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】由“”可推出“a2﹣b2>0”成立,而由“a2﹣b2>0”成立不能推出“”成立,从而得出结论.
【解答】解:由“”可得 a>b>0,故有“a2﹣b2>0”成立,故充分性成立.
由“a2﹣b2>0”可得|a|>|b|,不能推出,故必要性不成立.
故“”是“a2﹣b2>0”的充分而不必要条件,
故选A.
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义,不等式的基本性质的应用,属于基础题.
6. 已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】根据题意,点(3,4)到原点的距离等于半焦距,可得a2+b2=25.由点(3,4)在双曲线的渐近线上,得到=,两式联解得出a=3且b=4,即可得到所求双曲线的方程.
【解答】解:∵点(3,4)在以|F1F2|为直径的圆上,
∴c=5,可得a2+b2=25…①
又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y=x上,
∴=…②,
①②联解,得a=3且b=4,
可得双曲线的方程﹣=1.
故选:C.
7. 给定函数①,②,③,④,其中在区间上单调递减的函数序号是
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
参考答案:
B
略
8. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为,则该双曲线的离心率为
A. B. C.3 D.
参考答案:
B
9. 设全集U=R,集合A={x||x|≤1},B={x|log2x≤1},则?UA∩B等于( )
A.(0,1] B. C.(1,2] D.(﹣∞,﹣1)∪
参考答案:
C
考点: 交、并、补集的混合运算.
专题: 集合.
分析: 求出A与B中不等式的解集确定出A与B,找出A补集与B的交集即可.
解答: 解:由A中不等式解得:﹣1≤x≤1,即A=,
由B中不等式变形得:log2x≤1=log22,
解得:0<x≤2,即B=(0,2],
∴?UA=(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),
则(?UA)∩B=(1,2],
故选:C.
点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
10.
已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,且,则数列{an}的通项公式an为 ( )
A.n B.n+2 C.2n-1 D.2n+1
参考答案:
答案:C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 正六边形ABCDEF的对角线AC和CE分别被内点M和N分割,且有.如果B、M、N共线,则r的值为 .
参考答案:
【考点】NC:与圆有关的比例线段.
【分析】根据正六边形的特点建立坐标系,不妨设边AB=1,求出A、B、C、E的坐标,设M的坐标,由条件和向量相等列出方程,求出M的坐标,同理求出点N的坐标,求向量的坐标运算求出、的坐标,将B,M,N三点共线转化为∥,由共线向量的坐标条件列出方程,求出r的值.
【解答】解:建立如图坐标系,不妨设正六边形ABCDEF的边AB=1,
则A(0,0),B(1,0),C(,),
E(0,),
设M的坐标为(x,y),
∵,∴(x,y)=r(,),
则x=r,y=r,即M(r, r),
同理可求,N的坐标是((1﹣r),(1+r)),
∴=(r﹣1, r),=(﹣r,(1+r)),
∵B,M,N三点共线,
∴∥,则(r﹣1)×(1+r)﹣r×(﹣r)=0,
化简得,3r2=1,解得r=,
故答案为:.
12. 下图茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 .
参考答案:
试题分析:由图可知,甲的5次成绩分别是88、89、90、91、92,易知甲的平均分为90.乙的成绩分别是83、83、87、99,其中被污损的那次成绩为90到99中的某一个.设被污损的那次成绩为,由甲的平均成绩超过乙的平均成绩,得.所以.又是90到99的十个整数中的其中一个,其中有8个整数小于98,所以的概率.
13. 若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,则实数m的值为 _________ .
参考答案:
1或-3
14. 已知α∈(0,),β∈(0,),且cosα=,cos(α+β)=﹣,则sinβ= .
参考答案:
【考点】两角和与差的正弦函数.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式,以及三角函数在各个象限中的符号,求得sinβ=sin[(α+β)﹣α]的值.
【解答】解:∵已知α∈(0,),β∈(0,),且cosα=,cos(α+β)=﹣,
∴sinα==,sin(α+β)==,
则sinβ=sin[(α+β)﹣α]=sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα
=?﹣(﹣)?=,
故答案为:.
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式,以及三角函数在各个象限中的符号,属于基础题.
15. (坐标系与参数方程选讲选做题)在极坐标系中,设曲线与的交点分别为,,则线段的垂直平分线的极坐标方程为 .
参考答案:
试题分析:曲线的普通方程为,曲线的普通方程为,所以的方程为,又易知的垂直平分线斜率为,经过圆的圆心,所以的垂直平分线的方程为,即为,或化成.
考点:1、极坐标方程与直角坐标方程互化;2、两圆的公共弦所在直线方程.
16. 实数x,y满足则的最小值为 .
参考答案:
【考点】7C:简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,再由的几何意义,即可行域内的动点与原点连线的斜率求解.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图:
联立,解得A(4,2),
由图可知,的最小值为.
故答案为:.
17. 已知等比数列{an}中,a1+a3=,则a6= .
参考答案:
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】根据条件列出关于a1和q的方程组,解得即可.
【解答】解:∵a1+a3=,
∴,
解得q=,a1=2,
∴a6=2×()5=,
故答案为:
【点评】本题考查等比数列的定义,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)(理)已知数列{an}满足:a1=1,=2(n十1)an+n(n+1),(),
(1)若,试证明数列{bn}为等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn.
参考答案:
(1),
,即,
,是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)知
∴
.
令,
则,
两式相减得:,
.
∴.
19. 已知集合A={x∈R|0<ax+1≤5},B={x∈R|﹣<x≤2}.
(1)A,B能否相等?若能,求出实数a的值,若不能,试说明理由?
(2)若命题p:x∈A,命题q:x∈B且p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】集合的相等;必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】计算题.
【分析】(1)集合相等,转化为元素间的相等关系求解
(2)p?q得A?B且A≠B,转化为集合的关系求解.
【解答】解:(1)若A=B显然a=0时不满足题意
当a>0时∴
当a<0时显然A≠B
故A=B时,a=2
(2)p?q得A?B且A≠B
0<ax+1≤5?﹣1<ax≤4
当a=0时,A=R不满足.
当a>0时,则
解得a>2
当a<0时,则
综上p是q的充分不必要条件,实数a的取值范围是a>2,或a<﹣8
【点评】本题考查集合间的关系,一般化为元素间的关系求解.
20. 已知,各项均为正数的数列满足,若,则 .
参考答案:
略
21. 给定正整数,若项数为的数列满足:对任意的,均有(其中),则称数列为“Γ数列”.
(Ⅰ)判断数列和是否是“Γ数列”,并说明理由;
(Ⅱ)若为“Γ数列”,求证:对恒成立;
(Ⅲ)设是公差为的无穷项等差数列,若对任意的正整数,
均构成“Γ数列”,求的公差.
参考答案:
(Ⅰ)①因为,数列不是“数列”, ---------------------------------2分
②因为,又是数列中的最大项
所以数列是“数列”. ----------------------------------------------4分
(Ⅱ)反证法证明:
假设存