湖北省荆门市沙洋县纪山中学高二数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. “x=1”是“(x﹣1)(x﹣2)=0”的( )
A.必要但不充分条件 B.充分但不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】解方程,根据充分必要条件的定义判断即可.
【解答】解:由“(x﹣1)(x﹣2)=0”,解得:x=1或x=2,
故“x=1”是“(x﹣1)(x﹣2)=0”的充分不必要条件,
故选:B.
2. 已知为纯虚数,是实数,那么( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
3. “m∈(2,6)”是“方程+=1为椭圆方程”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】原方程要表示椭圆方程,需满足,即2<m<6,且m≠4,所以看m∈(2,6)能否让方程满足这个条件,这样即可判断m∈(2,6)是否是方程表示椭圆方程的充分条件;然后看若方程表示椭圆方程,则它要满足条件:2<m<6,且m≠4,这时候看能否得到2<m<6,这样即可判断m∈(2,6)是否是方程表示椭圆方程的必要条件;这样即可找到正确选项.
【解答】解:(1)若m∈(2,6),则:0<m﹣2<4,0<6﹣m<4,m﹣2=6﹣m时,m=4;
∴方程不一定为椭圆方程;
∴m∈(2,6)不是方程为椭圆方程的充分条件;
(2)若方程为椭圆方程,则:
,解得2<m<6,且m≠4,所以能得到m∈(2,6);
∴m∈(2,6)是方程表示椭圆方程的必要条件;
∴m∈(2,6)是方程表示椭圆方程的必要不充分条件.
故选:B.
4. 已知a,b为非零实数,若a>b且ab>0,则下列不等式成立的是( )
A.a2>b2 B.> C.ab2>a2b D.<
参考答案:
D
考点: 不等式的基本性质.
专题: 不等式的解法及应用.
分析: A.取a=1,b=﹣2,即可判断出;
B.取a=1,b=﹣2,即可判断出;
C.取a=2,b=1,即可判断出;
D.由于a,b为非零实数,a>b,可得,化简即可得出.
解答: 解:A.取a=1,b=﹣2,不成立;
B.取a=1,b=﹣2,不成立;
C.取a=2,b=1,不成立;
D.∵a,b为非零实数,a>b,∴,化为,
故选:D.
点评: 本题考查了不等式的基本性质,属于基础题.
5. 运行如右图程序,若输入的是-2,则输出的结果是( )
A.3 B.9 C.0 D.-3
参考答案:
B
分析:首先根据框图中的条件,判断-2与1的大小,从而确定出代入哪个解析式,从而求得最后的结果,得到输出的值.
详解:首先判断-2<1成立,代入中,
得到,从而输出的结果为9,故选B.
6. 如图,若在矩形OABC中随机撒一粒豆子,则豆子落在图中阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
可求出阴影部分的面积与矩形的面积,利用几何概型可求出豆子落在图中阴影部分的概率.
【详解】解:图中阴影部分的面积为:,
矩形的面积为:,
可得豆子落在图中阴影部分的概率为,
故选A.
7. 长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成的角等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
参考答案:
D
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】由长方体的特点可得AB与AD所成的角即为异面直线AB,A1D1所成的角,由矩形的性质可求.
【解答】解:∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,DA∥A1D1,
∴AB与AD所成的角即为异面直线AB,A1D1所成的角,
在矩形ABCD中易得AB与AD所成的角为90°,
故异面直线AB,A1D1所成的角等于90°
故选:D
【点评】本题考查异面直线所成的角,属基础题.
8. 极坐标系中,下列各点与点P(ρ,θ)(θ≠kπ,k∈Z)关于极轴所在直线
对称的是( )
A.(-ρ,θ)B.(-ρ,-θ)C.(ρ,2π-θ) D.(ρ,2π+θ)
参考答案:
C
9. 在正方体中,E是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 函数的部分图象大致是 ( )
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是▲
参考答案:
略
12. 观察下列各式:
①;
②;
③;
④
根据其中函数及其导函数的奇偶性,运用归纳推理可得到的一个命题是: .
参考答案:
奇函数的导数是偶函数.
略
13. 已知椭圆的短轴长为2,离心率为,设过右焦点的直线与椭圆 交于不同的两点,过作直线的垂线,垂足分别为,记,若直线的斜率,则的取值范围为___________.
参考答案:
14. 已知f(x)=|2x﹣1|+x+3,若f(x)≥5,则x的取值范围是 .
参考答案:
{x|x≥1,或x≤﹣1}
【考点】绝对值不等式的解法.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】由题意可得2﹣x≤0 ①,或②,分别求得①、②的解集,再取并集,即得所求.
【解答】解:f(x)≥5,即|2x﹣1|≥2﹣x,∴2﹣x≤0 ①,或②,
解①求得x≥2,解②求得1≤x<2 或x≤﹣1.
综上可得,不等式的解集为{x|x≥1,或x≤﹣1},
故答案为:{x|x≥1,或x≤﹣1}.
【点评】本题主要考查分式不等式的解法,体现了等价转化和分类讨论的数学思想,属于基
15. 某同学在证明命题“”时作了如下分析,请你补充完整.
要证明,
只需证明________________,只需证明_________________,
展开得, 即, 只需证明,________________,
所以原不等式:成立.
参考答案:
, ,因为成立。
16. 已知函数 .那么对于任意的 ,函数y的最大值为________.
参考答案:
17. 在数列{an}中,已知a2=4,a3=15,且数列{an+n}是等比数列,则an= .
参考答案:
2?3n﹣1﹣n;
考点:等比数列的通项公式.
专题:等差数列与等比数列.
分析:由于数列{an+n}是等比数列,可得,解得a1.即可得到公比q==.再利用等比数列的通项公式即可得出.
解答: 解:∵数列{an+n}是等比数列,∴,
∴(4+2)2=(a1+1)×(15+3),解得a1=1.
∴公比q==.
∴an+n=2×3n﹣1.
∴an=2?3n﹣1﹣n,
故答案为:2?3n﹣1﹣n.
点评:本题考查了等比数列的定义及其通项公式,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四棱锥中,面,四边形是正方形,是的中点,是的中点
(1)求证:面;
(2)求证:面PCE;
(3)求点G到面PCE的距离.
参考答案:
(1),所以
(2)取中点,得平行四边形
所以
(3)转化为到平面的距离,结果
略
19. (本小题满分12分)已知为实数,.
(Ⅰ)若,求在 上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若在和上都是递增的,求的取值范围.
参考答案:
在上单调递增
所以在上的最大值为,最小值为……………….6分
(2)的图象为过,开口向上的抛物线由题且解得……………….12分
20. 已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos,sin),∈(,).
(Ⅰ)若||=||,求角的值;
(Ⅱ)若·= -1,求的值.
参考答案:
解:(1)=(cosα-3,sinα), =(cosα,sinα-3),
∵||=|| 可得cosα=sinα
又α∈(,)∴α= ……5分
(2)·= cos2α-3 cosα+ sin2α-3 sinα=-1
∴cosα+sinα=
∴2=-
==2=- ……10分
略
21. 已知,,,,函数的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数在区间上的值域.
参考答案:
(1).
(2) 由(1)可知,.
当.
有,.
所以函数.
22. 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为.
(1)求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程;
(2)若l与C相交于A,B两点,,求.
参考答案:
(1)直线l的普通方程为,圆的直角坐标方程为(2)12
【分析】
(1)线的参数方程为(为参数)消去参数t可得普通方程.曲线C的极坐标方程为,利用互化公式即可得出直角坐标方程.
(2)直线的参数方程为(为参数)代入方程可得:.,即可求出答案.
【详解】解:(1)将直线的参数方程消去参数,
得直线的普通方程为.
由,得,则圆的直角坐标方程为.
(2)将代入,得,
则,
故.
【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交弦长问题,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.