湖北省荆州市监利县实验中学2022-2023学年高一数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (5分)已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1和两点A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为()
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
参考答案:
B
考点: 直线与圆的位置关系.
专题: 直线与圆.
分析: 根据圆心C到O(0,0)的距离为5,可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6.再由∠APB=90°,可得PO=AB=m,可得m≤6,从而得到答案.
解答: 圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圆心C(3,4),半径为1,
∵圆心C到O(0,0)的距离为5,
∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6.
再由∠APB=90°可得,以AB为直径的圆和圆C有交点,
可得PO=AB=m,故有m≤6,
故选:B.
点评: 本题主要直线和圆的位置关系,求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6,是解题的关键,属于中档题.
2. 观察式子:,…,则可归纳出式子为( )
A、 B、
C、 D、
参考答案:
解析:用n=2代入选项判断. C
3. ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 函数是定义在R上的增函数,的图象经过(0,-1)和下面哪一个点时,能使不等式 ( )
A.(3,2) B.(4,0) C.(3,1) D.(4,1)
参考答案:
D
5. 满足条件的集合M的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1
参考答案:
C
6. 已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率e=,长轴长为6,则椭圆的方程( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题;方程思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由已知求出a,c的值,结合隐含条件求得b,则椭圆方程可求.
【解答】解:由题意可知,,2a=6,a=3,
∴c=2,则b2=a2﹣c2=9﹣4=5,
∴椭圆的方程为或.
故选:D.
【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了椭圆方程的求法,是基础题.
7. 函数在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
8. 设集合,
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( ).
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
参考答案:
B
略
10. 函数f(x)=+lg(3﹣x)的定义域为( )
A.[﹣1,3] B.(﹣1,3) C.[﹣1,3) D.(﹣1,3]
参考答案:
C
【考点】对数函数的定义域.
【分析】根据二次根式的定义可知x+1≥0且根据对数函数定义得3﹣x>0,联立求出解集即可.
【解答】解:因为函数f(x)=+lg(3﹣x)
根据二次根式定义得x+1≥0①,
根据对数函数定义得3﹣x>0②
联立①②解得:﹣1≤x<3
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若直线l与直线l1:5x -12y+6=0平行,且l与l1的距离为2,则l的方程
为
参考答案:
或
略
12. 若f(x+1)的定义域为[﹣1,1],则f(3x﹣2)的定义域为 .
参考答案:
[,]
【考点】函数的定义域及其求法.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据复合函数定义域之间的关系即可求出函数的定义域.
【解答】解:∵f(x+1)的定义域为[﹣1,1],
∴﹣1≤x≤1,
∴0≤x+1≤2,
由0≤3x﹣2≤2得2≤3x≤4,
即≤x≤,
∴函数f(3x﹣2)的定义域为[,].
故答案为:[,].
【点评】本题主要考查函数定义域的求法,要求熟练掌握复合函数定义域之间的关系.
13. 设定义在上的函数同时满足以下三个条件:① ;
② ;③当时,,则 ▲ .
参考答案:
14. 计算: ;若,则 .
参考答案:
15. 已知f(x)=sin(ω>0),f()=f(),且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω= .
参考答案:
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】根据f()=f(),且f(x)在区间上有最小值,无最大值,确定最小值时的x值,然后确定ω的表达式,进而推出ω的值.
【解答】解:如图所示,
∵f(x)=sin,
且f()=f(),
又f(x)在区间内只有最小值、无最大值,
∴f(x)在处取得最小值.
∴ω+=2kπ﹣(k∈Z).
∴ω=8k﹣(k∈Z).
∵ω>0,
∴当k=1时,ω=8﹣=;
当k=2时,ω=16﹣=,此时在区间内已存在最大值.
故ω=.
故答案为:
16. 某路段属于限速路段,规定通过该路段的汽车时速不得超过70km/h,否则视为违规扣分,某天有1000辆汽车经过了该路段,经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图,如图所示,则违规扣分的汽车大约为_____辆。
参考答案:
120
17. 设,则的最小值为__________
参考答案:
2
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)用函数单调性的定义证明:在上是增函数。
参考答案:
证明:任取,则
,……………………4分
因为,所以,,,…………………8分
故,即,
所以在上是增函数。…………………………12分
19. (本小题满分12分) 在平面直角坐标系中,已知圆和圆.
(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标。
参考答案:
(1)设直线的方程为:,即
由垂径定理,得:圆心到直线的距离,
20. 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且满足+=4cosC.
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若tanA=2tanB,求sinA的值.
参考答案:
【考点】正弦定理;余弦定理.
【分析】(Ⅰ)根据余弦定理和正弦定理化简已知的式子,即可求出式子的值;
(Ⅱ)利用商的关系化简tanA=2tanB,再根据余弦定理和正弦定理化简得到等式,联立(1)的结论求出a、b、c的关系,利用余弦定理求出cosA,再由内角的范围和平方关系求出sinA的值.
【解答】解:(Ⅰ)已知等式整理得: =4cosC,即=2abcosC,
由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣=,
即=2,
利用正弦定理化简得: ==2;
(Ⅱ)∵tanA=2tanB,
∴,则sinAcosB=2sinBcosA,
∴a?=2b?,
化简得,3a2﹣3b2=c2,
联立a2+b2=2c2得,a、,
由余弦定理得,cosA===,
由0<A<π得,sinA=.
21. 已知向量,且与向量所成角为,其中A、B、C是△ABC的内角。
(1)求角B的大小;
(2)求sinA+sinC的取值范围。
参考答案:
(1)由
则有: ∴
即
解得:或 ∵ 且(舍去)
∴…………………………………………………………………………(6分)
22. (13分)定义在区间上的函数y=f(x)的图象关于直线x=对称,当x∈时,函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其图象如图所示.
(Ⅰ)求函数y=f(x)在的表达式;
(Ⅱ)求方程f(x)=的解;
(Ⅲ)是否存在常数m的值,使得|f(x)﹣m|<2在x∈上恒成立;若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案:
考点: 函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法;函数的零点.
专题: 函数的性质及应用;三角函数的图像与性质.
分析: (Ⅰ)当x∈时,由图象可求得f(x),由y=f(x)的图象关于直线x=对称,则f(x)=f(﹣x),当时,易求f(﹣x);
(Ⅱ)分﹣,两种情况进行讨论可解方程;
(Ⅲ)由条件得:m﹣2<f(x)<m+2在x上恒成立,可转化为函数的最值解决,而最值可借助图象求得;
解答: (Ⅰ)x∈,A=2,,∴T=2π,ω=1,
且f(x)=2sin(x+φ)过(﹣,2),
∵0<φ<π,∴﹣φ=,φ=,
f(x)=2sin(x+),
当时,﹣,f(﹣x)=2sin(﹣x+)=2sin(π﹣x)=2sinx,
而函数y=f(x)的图象关于直线x=对称,则f(x)=f(﹣x),即f(x)=2sinx,,
∴f(x)=;
(Ⅱ)当﹣时,f(x)=2sin(x+)=,sin(x+)=,
∴x+=或,即x=﹣或,
当时,f(x)=2sinx=,sinx=,∴x=或,
∴方程f(x)=的解集是{﹣,,,},
(Ⅲ)存在,假设存在,由条件得:m﹣2<f(x)<m+2在x上恒成立,
即,
由图象可得:,解得0<m<2.
点评: 本题考查恒成立问题、三角函数解析式的求解及其图象性质,考查数形结合思想,考查学生解决问题的能力.