湖北省荆门市洋县实验学校2022-2023学年高一数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数,若,则实数=( )
A.-4或-2 B.-4或2 C.-2或4 D.-2或2
参考答案:
B
2. 已知角θ的终边经过点P(4,m),且sinθ=,则m等于( )
A.﹣3 B.3 C. D.±3
参考答案:
B
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】利用任意角的三角函数的定义,求解即可.
【解答】解:角θ的终边经过点P(4,m),且sinθ=,
可得,(m>0)
解得m=3.
故选:B.
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用,基本知识的考查.
3. 设,则下列不等式成立的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
参考答案:
A
4. 函数的一个单调递增区间是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
【知识点】三角函数的图像与性质
【试题解析】因为在是减函数,在先增后减,在是减函数,在是增函数,故答案为:C
5. 函数在区间上的最小值为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
略
6. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有1个黑球与都是黑球 B.至少有1个黑球与至少有1个红球
C.恰有1个黑球与恰有2个红球 D.至少有1个黑球与都是红球
参考答案:
C
7. 把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有点向左平行移动个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( )
A. ,x∈R B. ,x∈R
C. ,x∈R D. ,x∈R
参考答案:
C
考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题: 常规题型.
分析: 根据左加右减的性质先左右平移,再进行ω伸缩变换即可得到答案.
解答: 解:由y=sinx的图象向左平行移动个单位得到y=sin(x+),
再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin(2x+)
故选C
点评: 本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,平移变换时注意都是对单个的x或y来运作的.
8. 大衍数列,来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两翼数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,……则此数列的第20项为( )
A. 200 B. 180 C. 128 D. 162
参考答案:
A
【分析】
由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…,可得偶数项的通项公式:,即可得出.
【详解】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…,
可得偶数项的通项公式:,则此数列第20项=2×102=200.
故选:A.
【点睛】本题考查了数列递推关系、通项公式、归纳法,属于基础题.
9. 已知向量,不共线, =k+,(k∈R),=﹣如果∥那么( )
A.k=﹣1且与反向 B.k=1且与反向
C.k=﹣1且与同向 D.k=1且与同向
参考答案:
A
【考点】96:平行向量与共线向量;9J:平面向量的坐标运算.
【分析】根据条件和向量共线的等价条件得,,把条件代入利用向量相等列出方程,求出k和λ的值即可.
【解答】解:∵,∴,
即k=,得,
解得k=λ=﹣1,
∴=﹣=﹣,
故选A.
【点评】本题考查了向量共线的等价条件,向量相等的充要条件应用,属于基础题.
10. 已知,则函数与的图象可能是( )
A B C D
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系中,①若直线y=x+b与圆x2+y2=4相切,即圆x2+y2=4上恰有一个点到直线y=x+b的距离为0,则b的值为;②若将①中的“圆x2+y2=4”改为“曲线x=”,将“恰有一个点”改为“恰有三个点”,将“距离为0”改为“距离为1”,即若曲线x=上恰有三个点到直线y=x+b的距离为1,则b的取值范围是 .
参考答案:
(﹣,﹣2]
考点:直线和圆的方程的应用;类比推理.
专题:直线与圆.
分析:①利用直线和圆相切的关系进行求解.
②曲线x=表示圆x2+y2=4的右半部分,由距离公式可得临界直线,数形结合可得.
解答: 解:①若直线y=x+b与圆x2+y2=4相切,则圆心到直线的距离d=,
即|b|=2,即b=,
由x=得x2+y2=4(x≥0),
则对应的曲线为圆的右半部分,
直线y=x+b的斜率为1,(如图),设满足条件的两条临界直线分别为m和l,
根据题意,曲线上恰好有三个点到直线y=x+b的距离为1,因此其中两个交点必须在直线m″(过点(0,﹣2))和直线l″之间,
设(0,﹣2)到直线m的距离为1,可得=1,
解得b=﹣2,或b=2+(舍去),
∴直线m的截距为﹣2,
设直线l″为圆的切线,则直线l″的方程为x﹣y﹣2=0,
由l到l″的距离为1可得=1,
解方程可得b=,即直线l的截距为﹣,
根据题意可知,直线在m和l之间,
∴b的取值范围为:(﹣,﹣2]
故答案为:,(﹣,﹣2].
点评:本题主要考查直线和圆的综合应用,利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.
12. 已知函数y=loga(x﹣1)(a>0,a≠1)的图象过定点A,若点A也在函数f(x)=2x+b的图象上,则f(log23)= .
参考答案:
﹣1
【考点】对数函数的单调性与特殊点;指数函数的单调性与特殊点.
【专题】计算题;函数思想;方程思想;函数的性质及应用.
【分析】先利用函数y=loga(x+3)﹣1的解析式得出其图象必过哪一个定点,再将该定点的坐标代入函数函数f(x)=2x+b式中求出b,最后即可求出相应的函数值f(log23).
【解答】解:∵函数y=loga(x﹣1)(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(2,0),
将x=2,y=0代入y=2x+b得:
22+b=0,∴b=﹣4,
∴f(x)=2x﹣4,
则f(log23)=﹣4=﹣1,
故答案为:﹣1
【点评】本题考查对数函数、指数函数的图象的图象与性质,考查数形结合的数学思想,属于基础题.
13. 若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为 .
参考答案:
0或4
14. 函数的单调递增区间为 .
参考答案:
【考点】复合三角函数的单调性.
【分析】令 2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈z,求得x的范围,即可得到函数的增区间.
【解答】解:令 2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈z,求得 kπ﹣≤x≤kπ+,k∈z,故函数的增区间为
故答案为 .
15. 在△ABC中,CB = 2,AC = ,A = 30°,则AB边上的中线长为_______________.
参考答案:
或2
略
16. 设a为常数且a<0,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x+﹣2,若f(x)≥a2﹣1对一切x≥0都成立,则a的取值范围为 .
参考答案:
[﹣1,0)
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】通过讨论x的范围,得到不等式,解出即可求出a的范围.
【解答】解:当x=0时,f(x)=0,则0≥a2﹣1,解得﹣1≤a≤1,所以﹣1≤a<0
当x>0时,﹣x<0,,则
由对勾函数的图象可知,当时,有f(x)min=﹣2a+2
所以﹣2a+2≥a2﹣1,即a2+2a﹣3≤0,解得﹣3≤a≤1,又a<0
所以﹣3≤a<0,综上所述:﹣1≤a<0,
故答案为:[﹣1,0).
【点评】本题考查了函数的奇偶性问题,考查了对勾函数的单调性,是一道基础题.
17. 已知函数,下列结论中:
①函数f(x)关于对称;
②函数f(x)关于对称;
③函数f(x)在是增函数,
④将的图象向右平移可得到f(x)的图象.
其中正确的结论序号为______ .
参考答案:
①②③
【分析】
把化成的型式即可。
【详解】由题意得
所以对称轴为,
对,当时,对称中心为,对。
的增区间为,对
向右平移得。错
【点睛】本题考查三角函数的性质,三角函数变换,意在考查学生对三角函数的图像与性质的掌握情况。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 化简或求值:
(1)()+(0.008)×
(2)+log3﹣3.
参考答案:
【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.
【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】(1)利用有理数指数幂的性质、运算法则求解.
(2)利用对数性质、运算法则、换底公式求解.
【解答】解:(1)()+(0.008)×
=+25×
=.
(2)+log3﹣3
=﹣5log32+﹣5
=+﹣5
=﹣5
=﹣7.
【点评】本题考查指数式、对数式化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意指数、对数性质及运算法则、换底公式的合理运用.
19. 设集合,,,
(Ⅰ)求,;
(Ⅱ)若,且,求实数的值.
参考答案:
(Ⅰ),--------6分
(Ⅱ)------------------------------------12分
20. 已知二次函数满足,且.
(1)求的解析式;
(2)当时,不等式有解,求实数m的取值范围;
(3)设,,求的最大值.
参考答案:
(1);(2);(3)
试题分析:(1)设二次函数一般式,根据待定系数法求出a,b,c(2)不等式恒成立一般转化为对应函数最值:x2-3x+1的最小值>m,再根据二次函数性质求x2-3x+1的最小值得实数m的范围;(3)根据对称轴与定义区间位置关系,分类讨论函数取最大值的情况
试题解析:解:(1)令f(x)=ax2+bx+c(a≠0),代入已知条件,
得:
∴
∴f(x)=x2-x+1.
(2)当x∈[-1,1]时,f(x)>2x+m恒成立,
即x2-3x+1>m恒成立;
令g(x)=x2-3x+1=2-,x∈[-1,1].
则对称轴:x=?[-1,1],g(x)min=g(1)=-1,
∴m<-1.
(3)G(t)=f(2t+a)=4t2+(4a-2)t+a2-a+1,t∈[-1,1],对称轴为:t=.
①当≥0时,即:a≤;如图1:
G(t)max=G(-1)=4-(4a-2)+a2-a+1=a2-5a+7,
②当<0时,
即:a>;如图2:
G(t)max=G(1)=4+(4a-2)+a2-a+1=a2+3a+3,
综上所述:
G(t)max=
点睛:不等式有解是含参数的不等式存在性问题时,只要求存在满足条件的即可;不等式的解集为R是指不等式的恒成立,而不等式的解集的对立面(如的解集是空集,则恒成立))也是不等式的恒成立问题,此两类问题都可转化为最值问题,即恒成立?,恒成立?.
21. 已知,、
(1)求的值.
(2)求的