湖北省荆门市西湖中学2022年高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数f(x)(x∈R)为奇函数,,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)=( )
A.0 B.1 C. D.5
参考答案:
C
略
2. 已知向量----------( )
A.(-5,-10) B.(-4,-8) C.(-3,-6) D.(-2,-4)
参考答案:
B
略
3. 不同直线m,n和不同平面α,β,给出下列命题:
①,②,③,④
其中假命题有:( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
参考答案:
D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系.
【专题】证明题;综合题.
【分析】不同直线m,n和不同平面α,β,结合平行与垂直的位置关系,分析和举出反例判定①②③④,即可得到结果.
【解答】解:①,m与平面β没有公共点,所以是正确的.
②,直线n可能在β内,所以不正确.
③,可能两条直线相交,所以不正确.
④,m与平面β可能平行,不正确.
故选D.
【点评】本题考查空间直线与直线,直线与平面的位置关系,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是基础题.
4. 已知tan(α-β)=,tanβ=-,且α、β∈(0,π).
求2α-β的值.
参考答案:
略
5. 在中,,,则k的值为( )
A.5 B. C. D.
参考答案:
D
∵,∴,得,∴选“D”.
6. 若三个实数a,b,c成等比数列,其中,,则b=( )
A. 2 B. -2 C. ±2 D. 4
参考答案:
C
【分析】
由实数a,b,c成等比数列,得,从而得解.
【详解】由实数a,b,c成等比数列,得.
所以.
故选C.
【点睛】本题主要考查了等比数列的基本性质,属于基础题.
7. (5分)直线m,n均不在平面α,β内,给出下列命题:
①若m∥n,n∥α,则m∥α;
②若m∥β,α∥β,则m∥α;
③若m⊥n,n⊥α,则m∥α;
④若m⊥β,α⊥β,则m∥α;
则其中正确命题的个数是()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
D
考点: 空间中直线与直线之间的位置关系.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.
解答: 注意前提条件直线m,n均不在平面α,β内.
对于①,根据线面平行的判定定理知,m∥α,故①正确;
对于②,如果直线m与平面α相交,则必与β相交,而这与α∥β矛盾,故m∥α,故②正确;
对于③,在平面α内任取一点A,设过A,m的平面γ与平面α相交于直线b,
∵n⊥α,∴n⊥b,又m⊥n,∴m⊥b,∴m∥α,故③正确;
对于④,设α∩β=l,在α内作m′⊥β,
∵m⊥β,∴m∥m′,∴m∥α,故④正确.
故选:D.
点评: 本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
8. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,,那么
角的大小等于( )
A. B.或 C. D.
参考答案:
A
9. 过点P(0,1)与圆(x﹣1)2+y2=4相交的所有直线中,被圆截得的弦最长的直线方程是( )
A.x+y﹣1=0 B.x﹣y+1=0 C.x=0 D.y=1
参考答案:
A
【考点】J8:直线与圆相交的性质.
【分析】最长的弦是直径,根据圆的方程可得圆心坐标,再根据直线过点P(0,1),由截距式求得最长弦所在的直线方程.
【解答】解:最长的弦是直径,根据圆的方程(x﹣1)2+y2=4可得圆心坐标为(1,0),
再根据直线过点P(0,1),由截距式求得最长弦所在的直线方程为 +=1,x+y﹣1=0,
故选:A.
10. 已知,,,则三者的大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的定义域是 .
参考答案:
略
12. 已知圆心为,且被直线截得的弦长为,则圆C的方程为 .
参考答案:
由题意可得弦心距d=,故半径r=5,
故圆C的方程为x2+(y+2)2=25.
13. 如图所示,一艘船上午8:00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午8:30到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距4 n mile,则此船的航行速度是__________n mile/h.
参考答案:
16
14. 阅读右边的流程图,若
则输出的数是_ ___.
参考答案:
略
15. 设集合A={-1,0,3},B={a+3,2a+1},A∩B={3},则实数a的值为________.
参考答案:
a=0或a=1
略
16. 定义在R上的偶函数f(x)是最小正周期为的周期函数,且当时, ,则的值是
参考答案:
17. (5分)已知点A(a,2)到直线l:x﹣y+3=0距离为,则a= ..
参考答案:
1或﹣3
考点: 点到直线的距离公式.
专题: 直线与圆.
分析: 利用点到直线的距离公式即可得出.
解答: ∵点A(a,2)到直线l:x﹣y+3=0距离为,
∴,化为|a+1|=2,∴a+1=±2.
解得a=1或﹣3.
故答案为:1或﹣3.
点评: 本题考查了点到直线的距离公式,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分)已知不等式的解集为,
(1)求的值;
(2)(文科做)解关于的不等式:
(2)(理科做)解关于的不等式:
参考答案:
解:(1)由不等式 的解集为知
(2)(文科做)由(1)知关于不等式可以化为
,
即
故当-a>3,即a<-3时,不等式的解集为;
当-a<3,即a>-3时,不等式的解集为;
当-a=3,即a=-3时,不等式的解集为
(2)(理科做)解:原不等式化为,
① 当时,原不等式化为,解得;
② 当时,原不等式化为,且,解得;
③ 当时,原不等式化为,且,解得或;
④ 当时,原不等式化为,解得且;
⑤当时,原不等式化为,且,解得或;
综上所述,当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
略
19. 若有函数y=2sin (2x+)
(1)指出该函数的对称中心;
(2)指出该函数的单调区间;
(3)若自变量x∈(0,),求该函数的值域.
参考答案:
【考点】正弦函数的对称性;正弦函数的单调性.
【分析】根据正弦函数想图象及性质可得答案.
【解答】解:函数y=2sin (2x+)
(1)令2x+=kπ,
可得:x=kπ
∴对称中心坐标(kπ,0),k∈Z.
(2)令2x+≤,k∈Z.
得:≤x≤,
∴单调递增区间是[,],k∈Z.
令≤2x+≤,k∈Z.
得:≤x≤.
∴单调递减区间是[,],k∈Z.
(3)∵x,
∴2x+∈(,)
∴sin (2x+)∈(,1]
则f(x)的值域(1,2].
20. 已知圆M(M为圆心)的方程为x2+(y﹣2)2=1,直线l的方程为x﹣2y=0,点P在直线l上,过P点作圆M的切线PA、PB,切点为A、B.
(1)若∠APB=60°,试求点P的坐标;
(2)求证:经过A、P、M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
参考答案:
【考点】直线和圆的方程的应用.
【分析】(1)设P(2m,m),代入圆方程,解得m,进而可知点P的坐标.
(2)设P(2m,m),MP的中点,因为PA是圆M的切线,进而可知经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心,以MQ为半径的圆,进而得到该圆的方程,根据其方程是关于m的恒等式,进而可求得x和y,得到经过A,P,M三点的圆必过定点的坐标.
【解答】解:(1)设P(2m,m),由题可知,即(2m)2+(m﹣2)2=4,…
解得:故所求点P的坐标为P(0,0)或.
(2)设P(2m,m),MP的中点,因为PA是圆M的切线
所以经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心,以MQ为半径的圆,
故其方程为:…
化简得:x2+y2﹣2y﹣m(2x+y﹣2)=0,此式是关于m的恒等式,
故解得或即(0,2)和().
21. 已知函数是定义在R上的偶函数,且当时,
(1)现已画出函数在轴左侧的图象,如图所示,请补出完整函数的图象,并根据图象写出函数的增区间;
(2)求函数的解析式和值域.
参考答案:
(1)因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如图:………………3分
所以f(x)的递增区间是(﹣1,0),(1,+∞).……………………………………5分
(2)设x>0,则﹣x<0,所以
因为f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(﹣x)=f(x),
所以x>0时,……………………………9分
故f(x)的解析式为………………10分
值域为{y|y≥﹣1}………………………………………………………12分
22. 已知函数, 且是参数).
(1)求的定义域;(2)当时,恒成立;求的取值范围.
参考答案:
(1).
当即时,定义域为
当时,即定义域为
当即时,定义域为
(2)当时,有意义得:解得
设则关于是减函数.
当,即由有
这与恒成立矛盾.
当,即由有
符合题意
综上所述:的取值范围是
略