湖北省荆门市孙桥中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 为虚数单位,若位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
C
略
2. 把边长为的正方形沿对角线折起,使得平面平面,形成三棱锥的正视图与俯视图如右图所示,则侧视图的面积为
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”。经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。设函数,则
A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014
参考答案:
C
略
4. 命题:“”,则命题的否定是( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
C
5. 已知数列,若利用如图所示的程序框图计算并输出该数列的第10项,则判断框内的条件可以是
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
6. 已知,则( )
A 、 B、3 C、 0 D、
参考答案:
B
==
【考点】同角三角函数间的基本关系的应用,二倍角公式。
7. 已知实数x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为( )
A.3 B.5 C.6 D.不存在
参考答案:
C
8. 给出如下四个命题:其中不正确的命题的个数是( )
①若“且”为假命题,则、均为假命题;
②命题“若,则”的否命题为“若,则”;
③“”的否定是“”;
④在△中,“”是“”的充要条件.
A.4 B.3 C.2 D.1
参考答案:
C
略
9. 执行右面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足
(A)y=2x (B)y=3x
(C)y=4x (D)y=5x
参考答案:
C
试题分析:第一次循环:,
第二次循环:,
第三次循环:此时满足条件,循环结束,输出,满足.故选C.
10. 已知点O为△ABC所在平面内一点,满足,M为AB中点,点P在内(不含边界),若,则的取值范围是( )
A. (1,2) B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
首先由已知可知点是的重心,如图,根据向量的运算可知,则化简为 ,再根据和的范围得到的范围.
【详解】如图:
,
点是的重心,点是的中点,
,
,
当点在内(不含边界),
,
,
,
, ,
, ,
.
故选:A
【点睛】本题考查向量的加法和减法以及共线的运算,重点考查转化与化归和化简能力,属于基础题型.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知a>b>0,那么a2+的最小值为 .
参考答案:
4
【考点】基本不等式.
【分析】先利用基本不等式求得b(a﹣b)范围,进而代入原式,进一步利用基本不等式求得问题答案.
【解答】解:因为 a>b>0,,
所以,
当且仅当,即时取等号.
那么 的最小值是4,
故答案为:4.
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.
解题的时候注意两次基本不等式等号成立的条件要同时成立.
12. 设O是△ABC的重心,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知b=2,c=,则= .
参考答案:
-1
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 平面向量及应用.
分析: 利用重心的性质和向量的运算法则可得可得=(+),再利用数量积的运算性质即可得出.
解答: 解:设D为边BC的中点,如图所示,则=(),
根据重心的性质可得==×(+)
=(+).
则=()?(+)=(﹣)
=[22﹣()2]=﹣1.
故答案为:﹣1.
点评: 熟练掌握重心的性质和向量的运算法则、数量积的运算性质是解题的关键
13. 已知中,AB=,BC=1,tanC=,则AC等于______.
参考答案:
2
由,所以。根据正弦定理可得,即,所以,因为,所以,所以,即,所以三角形为直角三角形,所以。
14. 如果函数在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数a的取值范围是 ▲ 。
参考答案:
略
15. 在中,已知=1,则面积的最大值是 。
参考答案:
16. 已知的方程是,的方程是,由动点向和所引的切线长相等,则运点的轨迹方程是__________________
参考答案:
答案:
解析::圆心,半径;:圆心,半径.设,由切线长相等得,.
17. 己知函数,当曲线y = f(x)的切线L的斜率为正数时,L在x轴上截距的取值范围为____________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)设数列的前项和为,已知为
常数,), .
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)是否存在正整数,使成立?若存在,求出所有符合条件
的有序实数对;若不存在,说明理由.
参考答案:
,即,……………………………8分
即,因为,所以,
所以,且,
因为,所以或或.………………………………………… 10分
当时,由得,,所以;
当时,由得,,所以或;
当时,由得,,所以或或,
综上可知,存在符合条件的所有有序实数对为:
.……………………………………………12分
19. 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆C与圆M:x2+(y﹣3)2=4的公共弦长为4
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知O为坐标原点,过椭圆C的右顶点A作直线l与圆x2+y2=相切并交椭圆C于另一点,求?的值.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)运用椭圆的离心率公式和对称性可得椭圆经过点(±2,3),代入椭圆方程,解得a,b,进而得到椭圆方程;
(2)设过右顶点A(4,0)的直线l为y=k(x﹣4),由直线和圆相切的条件:d=r,可得k,再由直线方程代入椭圆方程,运用韦达定理,可得B的横坐标,结合向量的数量积的坐标表示,即可得到所求值.
【解答】解:(1)由题意可得e==,a2﹣b2=c2,
椭圆C与圆M:x2+(y﹣3)2=4的公共弦长为4,
可得椭圆经过点(±2,3),
即有+=1,
解得a=4,b=2,
即有椭圆的方程为+=1;
(2)设过右顶点A(4,0)的直线l为y=k(x﹣4),
由直线与圆x2+y2=相切,可得=,
解得k=±,
将直线y=±(x﹣4),代入椭圆+=1,消去y,可得
31x2﹣32x﹣368=0,
设B(x0,y0),可得4x0=﹣,
则?=(4,0)?(x0,y0)=4x0=﹣.
20. 已知函数f(x)=ax2-bx+lnx,a,b∈R.
(1)当a=b=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)当b=2a+1时,讨论函数f(x)的单调性;
(3)当a=1,b>3时,记函数f(x)的导函数f ′(x)的两个零点是x1和x2 (x1<x2).
求证:f(x1)-f(x2)>-ln2.
参考答案:
(1)2x-y-2=0;(2)当a≤0时,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.0<a<时,f(x)在区间(0,1)和区间(,+∞)上单调递增,在区间(1,)上单调递减.当a=时,
f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.a>时,f(x)在区间(0,)和区间(1,+∞)上单调递增,在区间( ,1)上单调递减.(3)证明见解析.
试题分析:(1)求切线方程,可根据导数的几何意义,求出导数,计算,切线方程为
,化简即可;(2)研究单调性,同样求出导函数=,x>0.然后研究的正负,实质只要研究函数式的正负,必须分类讨论,确定分类的标准是:,,在时,按,,分类;(3)要证明此不等式,首先要考察的范围与关系,由已知求出,因此是方程的两根,,粗略地估计一下,由于,因此有,由此可知f(x)在上为减函数,从而有f(x1)-f(x2)>f()-f(1),这里,正好可证明题设结论.
当a=时,
因为f ′(x)≥0(当且仅当x=1时取等号),
所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
当a>时,
由f ′(x)>0得0<x<或x>1,由f ′(x)<0得<x<1,
所以f(x)在区间(0,)和区间(1,+∞)上单调递增,在区间(,1)上单调递减.
…………………… 10分
考点:导数的几何意义,用导数研究单调性,函数的综合应用.
【名师点睛】
1.导数法求函数单调区间的一般流程:
求定义域→求导数f'(x)→求f'(x)=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f'(x)在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性.
2.在函数中含有参数时,解方程f'(x)=0时必须对参数进行分类讨论,这里分类讨论的标准要按照不等式的形式正确确定.
3.已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f'(x)≥0(或f'(x)≤0),x∈(a,b),转化为不等式恒成立问题求解.
21. 已知函数f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x),a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围.
参考答案:
【考点】函数奇偶性的判断;对数的运算性质;对数函数的定义域;对数函数的单调性与特殊点.
【专题】计算题.
【分析】(1)根据对数的性质可知真数大于零,进而确定x的范围,求得函数的定义域.
(2)利用函数解析式可求得f(﹣x)=﹣f(x),进而判断出函数为奇函数.
(3)根据当a>1时,f(x)在定义域{x|﹣1<x<1}内是增函数,可推断出f(x)>0,进而可知进而求得x的范围.
【解答】解:(1)f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x),则解得﹣1<x<1.
故所求定义域为{x|﹣1<x<1}.
(2)f(x)为奇函数
由(1)知f(x)的定义域为{x|﹣1<x<1},
且f(﹣x)=loga(﹣x+1)﹣loga(1+x)=﹣[loga(x+1)﹣loga(1﹣x)]=﹣f(x),
故f(x)为奇函数.
(3)因为当a>1时,f(x)在定义域{x|﹣1<x<1}内是增函数,
所以.
解得0<x<1.
所以使f(x)>0的x的取值范围是{x|0<x<1}.
【点评】本题主要考查了函数的定义域,奇偶性的判断和单调性的应用.要求考生对函数的基本性质熟练掌握.
22. (12分)设函数.
(1)判断函数奇偶性;
(2)证明:的导数;
(3) 求函数在区间的最大值和最小值(结果用分式表示).
参考答案:
解析:(1)∵,,
∴函数的定义域为实数R. ……1分
又∵
∴函数为奇函数.