湖北省荆州市石首城南高级中学2023年高二数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )
A.28+6 B.30+6 C.56+12 D.60+12
参考答案:
B
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】通过三视图复原的几何体的形状,利用三视图的数据求出几何体的表面积即可.
【解答】解:三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形,
一个侧面垂直底面的等腰三角形,高为4,底边长为5,如图,
所以S底==10,
S后=,
S右==10,
S左==6.
几何体的表面积为:S=S底+S后+S右+S左=30+6.
故选:B.
2. 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若,,且,则( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
参考答案:
C
利用正弦定理可得:, ①
由余弦定理可得:, ②
由,得, ③
由① ② ③得,,故选C.
3. 下列四个命题中,真命题的个数为( )
(1)若两平面有三个公共点,则这两个平面重合;
(2)两条直线可以确定一个平面;
(3)若;
(4)空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内。
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
A
略
4. 以下命题正确的是 ( )
A.两个平面可以只有一个交点
B.一条直线与一个平面最多有一个公共点
C.两个平面有一个公共点,它们必有一条交线
D.两个平面有三个公共点,它们一定重合
参考答案:
C
5. 命题p:椭圆与有相同焦点,命题q:函数 的定义域是,则( )
A.“p或q”为假 B.“p且q”为真 C.p真q假 D.p假q真
参考答案:
D
略
6. 设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图1所示,则导函数y=f ¢(x)可能为( )
参考答案:
D
略
7. “m<”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的( )
A.充分非必要条件 B.充分必要条件
C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件
参考答案:
A
略
8. 抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
9. 如图所示的程序框图,若输出的S是30,则①可以为( )
A.n≤2? B.n≤3? C.n≤4? D.n≤5?
参考答案:
C
【考点】程序框图.
【专题】计算题.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加2n的值到S并输出S.
【解答】解:第一次循环:S=0+2=2,n=1+1=2,继续循环;
第二次循环:S=2+22=6,n=2+1=3,继续循环;
第三次循环:S=6+23=14,n=3+1=4,继续循环;
第四次循环:S=14+24=30,n=4+1=5,停止循环,输出S=30.
故选C.
【点评】程序框图题型一般有两种,一种是根据完整的程序框图计算,一种是根据题意补全程序框图.程序框图一般与函数知识和数列知识相结合,一般结合数列比较多见,特别经过多年的高考,越来越新颖、成熟.
10. 的展开式中的项的系数是 ( )
A. 120 B. -120 C. 100 D. -100
参考答案:
B
试题分析:系数,由的次项乘以,和的次项乘以的到,故含的是,选.
考点:二项式展开式的系数.
【方法点睛】二项式展开式在高考中是一个常考点.两个式子乘积相关的二项式展开式,首先考虑的是两个因式相乘,每个项都要相互乘一次,这样就可以分解成乘以常数和乘以一次项两种情况,最后将两种情况球出来的系数求和.如要求次方的系数,计算方法就是,也就是说,有两个是取的,剩下一个就是的.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过抛物线于四点,从左至右分别记为A,B,C,D,则= .
参考答案:
1
12. 若实数a,b满足2a+2b=1,则a+b的最大值是 .
参考答案:
﹣2
【考点】基本不等式.
【分析】由2a+2b=1,得=,从而可求a+b的最大值,注意等号成立的条件.
【解答】解:∵2a+2b=1,
∴=,即,
∴a+b≤﹣2,当且仅当,即a=b=﹣1时取等号,
∴a=b=﹣1时,a+b取最大值﹣2.
故答案为:﹣2.
【点评】该题考查基本不等式在求函数最值中的运用,属基础题,熟记基本不等式的使用条件是解题关键.
13. 关于x的不等式对一切实数x都成立,则a的范围是 ;
参考答案:
14. 根据下面一组等式:
可得 .
参考答案:
略
15. 如右图,在正三棱柱中,.若二面角的大小为,则点到平面的距离为__________.
参考答案:
3/4
略
16. 若“>”是“>7”的必要不充分条件,则实数的取值范围为__________.
参考答案:
17. 已知抛物线C:的焦点为F,点是C上一点,圆M与直线交于E,G两点,若,则抛物线C的方程为__________.
参考答案:
【分析】
作,垂足为 ,由点在抛物线上,得,由拋物线的性质,可知,,结合可得,解方程组即可得结果.
【详解】
画出图形如图所示,作,垂足为 ,
由题意得点在抛物线上,
则,①
由拋物线的性质,可知,
由抛物线的定义可得等于到抛物线准线的距离,即,
,,
,解得,②
由①②解得 (舍去)或,
故抛物线方程为,故答案为.
【点睛】本题主要考查抛物线的的方程与性质,考查了抛物线定义的应用,属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化:(1)将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离;(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,使问题得到解决.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆C: =1(a>b>0)的焦距为2,椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx﹣2与椭圆C交于A,B两点,点P(0,1),且|PA|=|PB|,求直线l的方程.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】综合题;方程思想;待定系数法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(Ⅰ)由椭圆的定义可得a,由焦距的概念可得c,再由a,b,c的关系可得b,进而得到椭圆方程;
(Ⅱ)直线l:y=kx﹣2代入椭圆方程,运用韦达定理和判别式大于0,再由中点坐标公式和两直线垂直的条件,可得k的方程,解方程可得直线方程.
【解答】解:(Ⅰ)由椭圆的定义可得2a=6,2c=2,
解得a=3,c=,
所以b2=a2﹣c2=3,
所以椭圆C的方程为+=1.
(Ⅱ)由
得(1+3k2)x2﹣12kx+3=0,
由于直线与椭圆有两个不同的交点,
所以△=144k2﹣12(1+3k2)>0解得.
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则,,
,
所以,A,B中点坐标E(,),
因为|PA|=|PB|,所以PE⊥AB,即kPE?kAB=﹣1,
所以?k=﹣1
解得k=±1,
经检验,符合题意,
所以直线l的方程为x﹣y﹣2=0或x+y+2=0.
【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的定义和焦距的概念,考查直线和椭圆方程联立,运用韦达定理和中点坐标公式,由两直线垂直的条件,考查运算能力,属于中档题.
19. 已知椭圆的离心率,短轴长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)从定点任作直线与椭圆交于两个不同的点、,记线段的中点为,试求点的轨迹方程。
参考答案:
(1)由已知得,则椭圆方程为;
(2)设,.
若直线与轴垂直,则;
若直线与轴不垂直,设直线的方程为。
由………①
则,将其消去,得,
由①中解得,
则,;
综上,所求点的轨迹方程为。
略
20. 如图,已知三棱柱的侧棱与底面垂直,,,是的中点,是的中点,点在直线上,且满足.
(1)当取何值时,直线与平面所成的角最大?
(2)若平面与平面所成的锐二面角为,试确定点的位置.
参考答案:
(1)(2)点在的延长线上,且
试题分析:(1)以 分别为轴,建立关于轴,轴,建立空间直角坐标系,可得向量 的坐标关于 的表达式,而平面 的法向量 ,可建立 关于的式子,最后结合二次函数的性质可得当时,角达到最大值;(2)根据垂直向量的数量积等于 ,建立方程组并解之可得平面 的一个法向量为 ,而平面与平面所成的二面角等于向量 所成的锐角,由结合已知条件建立的方程并解,即可得到的值,从而确定点 的位置。
(1)以分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,,
∵,∴,
则,易得平面的一个法向量为,
则直线与平面所成的角满足:(*),
于是问题转化为二次函数求最值,
而,当最大时,最大,
所以当时,,此时直线与平面所成的角得到最大值.
(2)已知给出了平面与平面所成的锐二面角为,
易知平面的一个法向量为,
设平面的一个法向量为,.
由,得,解得
令,得,于是
∵平面与平面所成的锐二面角为,
∴
解得,故点在的延长线上,且.
21. (本题9分)(Ⅰ)设函数,证明:当时,;
(Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为。证明:。
注:可用(Ⅰ)的结论。
参考答案:
解:(Ⅰ)。 1分
当时,,所以为增函数,又,
因此当时,。 3分
(Ⅱ)。 5分
又,,…,所以。 6分
由(Ⅰ)知,当时,,
因此。 7分
在此式中令,则即。 8分
所以。 9分
22. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n(n∈N+),数列{bn}的前n项和Tn=2n﹣1(n∈N+).
(1)求数列{}的前n项和;
(2)求数列{an?bn}的前n项和.
参考答案:
【考点】数列的求和.
【专题】综合题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列.
【分析】(1)由已知得an=2n+1.从而==,由此利用裂项求和法能求出数列{}的前n项和.
(2)由已知得,从而an?bn=(2n+1)?2n﹣1,由此利用错位相减法能求出数列{an?bn}的前n项和.
【解答】解:(1)∵数列{an}的前n项和Sn=n2+2n(n∈N+),
∴a1=S1=1+2=3,
n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n2+2n)﹣[(n﹣1)2+2(n﹣1)]=2n+1,
n=1时,2n+1=3=a1,
∴an=2n+1.
∴==,
∴数列{}的前n项