湖北省荆门市东宝区盐池第一中学2022年高二数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若等差数列的前项和为,且为确定的常数,则下列各式中,也为确定的常数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 某班选派6人参加两项公益活动,每项活动最多安排4人,则不同的安排方法有( )
A.50种 B.70种 C.35种 D.55种
参考答案:
A
【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.
【分析】本题是一个分类计数问题,当两项活动分别安排2,4时,有C62A22种结果,当两项活动都安排3个人时,有C63种结果,根据分类加法原理得到结果.
【解答】解:由题意知本题是一个分类计数问题,
当两项活动分别安排2,4时,有C62A22=30种结果,
当两项活动都安排3个人时,有C63=20种结果,
∴根据分类计数原理知共有30+20=50种结果
故选A.
3. 圆心坐标为,半径长为2的圆的标准方程是()
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
根据圆的标准方程的形式写.
【详解】圆心为,半径为2的圆的标准方程是.
故选C.
【点睛】本题考查了圆的标准方程,故选C.
4. 直线l: x+y+3=0的倾斜角α为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
参考答案:
C
【考点】直线的倾斜角.
【分析】由题意可得,直线的斜率tanα=﹣,再由0°≤α<180°,可得 α的值.
【解答】解:由于直线l: x+y+3=0的倾斜角为α,则直线的斜率tanα=﹣,
再由0°≤α<180°,可得 α=120°,
故选C.
5. 若x,y∈R+,且x + y≤4则的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.
参考答案:
A
6. “a>b>0”是“a2>b2”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
7. 程序框图如图21-1所示,则该程序运行后输出的B等于( )
图21-1
A.7 B.15
C.31 D.63
参考答案:
D
8. 曲线在点处的切线的方程为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A.63.6万元 B.65.5万元
C.67.7万元 D.72.0万元
参考答案:
B
10. 已知直线,直线平面,有下列四个命题:①,②l∥m,③l∥m,④∥,其中正确命题的序号是
(A)①和② (B)③和④ (C)②和④ (D)①和③
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 甲、乙两人练习射击, 命中目标的概率分别为和, 甲、乙两人各射击一次,有下列说法: ① 目标恰好被命中一次的概率为 ;② 目标恰好被命中两次的概率为; ③ 目标被命中的概率为; ④ 目标被命中的概率为 。
以上说法正确的序号依次是_____
参考答案:
② ④
12. 数列中,则
参考答案:
870
13. 若{an}是等差数列,a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根,则a5+a8=___________.
参考答案:
3
略
14. 过三点A(﹣4,0),B(0,2)和原点O(0,0)的圆的标准方程为 .
参考答案:
(x+2)2+(y﹣1)2=5
【考点】圆的标准方程.
【分析】由条件利用圆的弦的性质求出圆心的坐标,可得圆的半径,从而求得圆的标准方程.
【解答】解:由于所求的圆经过三点A(﹣4,0),B(0,2)和原点O(0,0),
故圆心在直线x=﹣2上,又在y=1上,故圆心的坐标为M(﹣2,1),
半径为MO=,故要求的圆的标准方程为(x+2)2+(y﹣1)2=5,
故答案:(x+2)2+(y﹣1)2=5.
15. 甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛,采用三局二胜制,先胜两局者赢得比赛,比赛随即结束,已知任一局甲胜的概率为p,若甲赢得比赛的概率为q,则q-p取得最大值时p=______
参考答案:
【分析】
利用表示出,从而将表示为关于的函数,利用导数求解出当时函数的单调性,从而可确定最大值点.
【详解】甲赢得比赛的概率:
,
令,
则,令,解得:
当时,;当时,
即在上单调递增;在上单调递减
当时,取最大值,即取最大值
本题正确结果:
【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题,关键是根据条件将表示为关于变量的函数,同时需要注意函数的定义域.
16. 观察按下列顺序排列的等式:,……,猜想第()个等式应为_ _.
参考答案:
9(n-1)+n=10n-9
17. 已知圆锥的母线长为5cm,侧面积为15πcm2,则此圆锥的体积为 cm3.
参考答案:
12π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【专题】计算题.
【分析】先求圆锥的底面半径,再求圆锥的高,然后求其体积.
【解答】解:已知圆锥的母线长为5cm,侧面积为15πcm2,
所以圆锥的底面周长:6π
底面半径是:3
圆锥的高是:4
此圆锥的体积为:
故答案为:12π
【点评】本题考查圆锥的侧面积、体积,考查计算能力,是基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,直线y=kx+b与椭圆交于A、B两点,记△AOB的面积为S.
(1)求在k=0,0<b<1的条件下,S的最大值;
(2)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.
参考答案:
(I)解:设点A的坐标为(,点B的坐标为,
由,解得
所以
当且仅当时,.S取到最大值1.
(Ⅱ)解:由得
①
|AB|= ②
又因为O到AB的距离 所以 ③
③代入②并整理,得
解得,,代入①式检验,△>0
故直线AB的方程是
或或或.
略
19. (本小题满分15分)如图,已知正方形所在平面,、分别是,的中点,.
(1)求证:面;
(2)求证:面面.
参考答案:
解析:(1)中点为,连、,
分别为中点,
,即四边形为平行四边形,
,又面,面
面.
(2)
,
中, ,
又且
面 又 面
由(1)知 面 又面
面面
略
20. 已知函数f(x)=2ax3+bx2﹣6x在x=±1处取得极值
(1)讨论f(1)和f(﹣1)是函数f(x)的极大值还是极小值;
(2)试求函数f(x)在x=﹣2处的切线方程;
(3)试求函数f(x)在区间[﹣3,2]上的最值.
参考答案:
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)f'(x)=6ax2+2bx﹣6,在x=1处取得极值,则f′(1)=6a+2b﹣6=0; 在x=﹣1处取得极值,则f′(﹣1)=6a﹣2b﹣6=0; 解得a=1;b=0;所以f(x)=2x3﹣6x; 由此能导出f(1)是极小值;f(﹣1)是极大值.
(2)f′(﹣2)=6×22﹣6=18;在x=﹣2处的切线斜率为18.由此能求出切线方程.
(3)f(x)=2x3﹣6x;,f′(x)=6x2﹣6;使f′(x)=6x2﹣6=0,得x=±1,由此能求出函数f(x)在区间[﹣3,2]上的最值.
【解答】解:(1)f'(x)=6ax2+2bx﹣6,
在x=1处取得极值,则f′(1)=6a+2b﹣6=0;
在x=﹣1处取得极值,则f′(﹣1)=6a﹣2b﹣6=0;
解得a=1;b=0;
∴f(x)=2x3﹣6x;
f′(x)=6x2﹣6,
由f′(x)=6x2﹣6=0,得x=±1.
列表:
x
(﹣∞,﹣1)
﹣1
(﹣1,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
﹣
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑
∴f(1)是极小值;f(﹣1)是极大值.
(2)f′(﹣2)=6×22﹣6=18;
在x=﹣2处的切线斜率为18;
而f(﹣2)=2x3﹣6x=﹣4;
∴切线方程y=18x+32;
(3)f(x)=2x3﹣6x;
f′(x)=6x2﹣6;
使f′(x)=6x2﹣6=0,得x=±1,
已经知道了f(1)=﹣4是极小值,f(﹣1)=4是极大值,
下面考察区间端点:
f(2)=2x3﹣6x=4;
f(﹣3)=2x3﹣6x=﹣36
∴最大值是f(﹣1)=f(2)=4;
最小值是f(﹣3)=﹣36.
21. 已知函数f(x)=过点(1,e).
(1)求y=f(x)的单调区间;
(2)当x>0时,求的最小值.
参考答案:
【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)根据题意得出b的值,求出导函数,得出函数的单调区间;
(2)构造函数)令g(x)=,求出导函数g'(x)=,根据导函数判断函数的极值即可.
【解答】解:(1)函数定义域为{x|x≠0},
f(1)=e,
∴b=0,
∴f(x)=,f'(x)=,
当x≥1时,f'(x)≥0,函数递增;
当x<0或0<x<1时,f'(x)<0,f(x)递减;
∴函数的增区间为[1,+∞],减区间为(﹣∞,0),(0,1);
(2)令g(x)=,g'(x)=,
当在(0,2)时,g'(x)<0,g(x)递减;
当在(2,+∞)时,g(x)>0,g(x)递增,
∴g(x)=为函数的最小值.
22. 已知点P(x,y)在不等式组表示的平面区域上运动,则Z=x-y的取值范围是____________.
参考答案:
[-1,2]