湖北省荆州市南岳高级中学高三数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 执行如图所示的程序框图,若输入n的值为5,则输出结果为( )
A.5 B.6 C.11 D.16
参考答案:
C
考点: 循环结构.
专题: 图表型;算法和程序框图.
分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的s,i的值,当i=6时,不满足条件i≤n,退出循环,输出s的值为11.
解答: 解:模拟执行程序框图,可得
n=5,i=1,s=1
满足条件i≤n,s=1,i=2
满足条件i≤n,s=2,i=3
满足条件i≤n,s=4,i=4
满足条件i≤n,s=7,i=5
满足条件i≤n,s=11,i=6
不满足条件i≤n,退出循环,输出s的值为11.
故选:C.
点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的s,i的值是解题的关键,属于基本知识的考查.
2. 执行如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为( )
A.10 B.lg99 C. 2 D.lg101
参考答案:
D
3. 位同学每人从甲、乙、丙门课程中选修门,则恰有人选修课程甲的概率是
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 设是所在平面上的一点,且是中点,则的值为( )
参考答案:
答案:
解析:为中点,
5. 函数的定义域是( )
A.[﹣1,2) B.(﹣2,1) C.(﹣2,1] D.[﹣2,1)
参考答案:
D
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】根据函数f(x)的解析式,列出使解析式有意义的不等式组,求出解集即可.
【解答】解:函数,
∴,
解得﹣2≤x<1,
∴f(x)的定义域是[﹣2,1).
故选:D.
6. 已知集合,B={x|-1≤x≤3,x∈Z},则集合A∩B中元素的个数为
A.4 B.3 C.2 D.1
参考答案:
B
7. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
略
8. 若复数z满足z(i+1)=,则复数z的虚部为( )
A.-1 B.0 C.i D.1
参考答案:
B
9. 函数f(x)=2﹣2sin2(+π)的最小正周期是( )
A. B.π C.2π D.4π
参考答案:
C
【考点】三角函数的周期性及其求法.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质.
【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用余弦函数的周期性得出结论.
【解答】解:f(x)=2﹣2sin2(+π)=2﹣2=2﹣2?=1+cosx 的最小正周期为=2π,
故选:C.
【点评】本题主要三角恒等变换,余弦函数的周期性,属于基础题.
10. 已知抛物线(为常数)的准线经过点,则抛物线的焦点坐标为
. . . .
参考答案:
D
试题分析:因为抛物线的准线经过,所以抛物线的准线方程为,所以其焦点坐标为,故选D.
考点:抛物线的几何性质.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列为等比数列,且.,则=________.
参考答案:
16
略
12. 已知函数 ,若对任意的实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是 .
参考答案:
13. 圆锥的侧面展开图为扇形,已知扇形弧长为cm,
半径为cm,则该圆锥的体积等于 .
参考答案:
略
14. 在平面几何里有射影定理:设△ABC的两边AB⊥AC,D是A点在BC上的射影,则AB2=BD·BC.拓展到空间,在四面体A—BCD中,DA⊥面ABC,点O是A在面BCD内的射影,且O在面BCD内,类比平面三角形射影定理,△ABC,△BOC,△BDC三者面积之间关系为 .
参考答案:
15. 已知命题:“,使x2+2x+a≥0”为真命题,则a的取值范围是 .
参考答案:
a≥-8
16. 在ABC中,,D是AB边上的一点,,△CBD的面积为1,则AC边的长为_______.
参考答案:
略
17. 的展开式中常数项为 .
参考答案:
14
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
直线是线段的垂直平分线.设椭圆E的方程为.
(Ⅰ)当在上移动时,求直线斜率的取值范围;
(Ⅱ)已知直线与抛物线交于A、B两个不同点, 与椭圆交于P、Q两个不同点,设AB中点为,
PQ中点为,若,求离心率的范围.
参考答案:
因M、N两点不同,
所以 ………………5分
代入抛物线和椭圆方程并整理得:
……………7分
易知方程(1)的判别式,方程(2)的判别式
………8分
………10分
, ………12分
略
19. 如图,四棱锥A﹣BCDE中,△ABC是正三角形,四边形BCDE是矩形,且平面ABC⊥平面BCDE,AB=2,AD=4.
(1)若点G是AE的中点,求证:AC∥平面BDG;
(2)试问点F在线段AB上什么位置时,二面角B﹣CE﹣F的余弦值为.
参考答案:
【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法.
【分析】(Ⅰ)利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明;
(2)建立空间直角坐标系,求平面BCE和CEF的法向量,利用向量法求二面角的大小,解方程即可得出.
【解答】解:(1)证明:连接CE、BD,设CE∩BD=O,连接OG,
由三角形的中位线定理可得:OG∥AC,
∵AC?平面BDG,OG?平面BDG,
∴AC∥平面BDG.
(2)∵平面ABC⊥平面BCDE,DC⊥BC,
∴DC⊥平面ABC,
∴DC⊥AC,则△ACD为直角三角形.
∵△ABC是正三角形,
∴取BC的中点M,连结MO,则MO∥CD,
∴MO⊥面ABC,
以M为坐标原点,以MB,M0,MA分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
∵AB=2,AD=4,∴AM=,
∴B(1,0,0),C(﹣1,0,0),A(0,0,),
在Rt△ACD中,CD=.
∴BE=CD=,即E(1,2,0)
则,
∵点F在线段AB上,
∴设BF=xBA,(0≤x≤1)
则
∴F(1﹣x,0,),则,,
设面CEF的法向量为,
则由得,,
令a=,则b=﹣1,c=,即,
平面BCE的法向量为,
二面角B﹣CE﹣F的余弦值为,
即,
∴,
平方得,解得:,
解得x=﹣1(舍去)或x=.
即F是线段AB的中点时,二面角B﹣CE﹣F的余弦值为.
20. 已知函数,曲线经过点,且在点处的切线为.
(I)求,的值;
(II)若存在实数,使得时恒成立,求的取值范围.
参考答案:
(I) ………………………………2分
依题意,,即,解得 .……………………4分
(II)由得:
时,
即恒成立当且仅当 ……6分
设,
由得…………8分
当;当
上的最大值为………………………10分
所以常数的取值范围为…………………………………12分
21. 为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况,从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如图所示:
(1)若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15,求乙校高三年级学生总人数;
(2)根据茎叶图,分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中哪个学校地理成绩较好?(不要求计算,要求写出理由);
(3)从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格(低于60分为不及格)的学生中随机抽取2人,求至少抽到一名乙校学生的概率.
参考答案:
(1)因为每位同学被抽取的概率均为0.15,
则高三年级学生总数 ………………………………………2分
(2)由茎叶图可知甲校有22位同学分布在60至8中/华-资*源%库0之间,乙校也有22位同学分布在
70 至80之间,乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大,方差较小.
所以,乙校学生的成绩较好. ……………………………….……6分
(3)由茎叶图可知,甲校有4位同学成绩不及格,分别记为:1、2、3、4;
乙校有2位同学成绩不及格,分别记为:5、6.
则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能:
(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(3,4)
(3,5)、(3,6)、(4,5)、(4,6)、(5,6),总共有15个基本事件.
记“乙校包含至少有一名学生成绩不及格”的事件为A,
则A包含9个基本事件,如下:(1,5)、(1,6)、(2,5)、(2,6)、(3,5)、(3,6)、
(4,5)、(4,6)、(5,6).
所以, ………………………………………12分
22. (本小题满分12分)
如图,在三棱柱中,四边形为菱形,,四边形为矩形若
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值。
参考答案: