湖北省荆州市河山中学高一数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. .函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别为3,5,9,则的单调递增区间是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
参考答案:
A
【分析】
先分析得到函数的最小正周期是6,求出函数在一个周期上的单调递增区间是,再求出函数的单调递增区间.
【详解】因为函数与直线的三个相邻交点的横坐标分别为3,5,9,
所以函数在时取得最大值,在时取得最小值,
所以函数的最小正周期是6.
易知函数在一个周期上的单调递增区间是,
所以函数的单调递增区间是,.
故选:A
【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质,考查三角函数的单调区间的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2. 已知点P与点关于直线对称,则点P的坐标为
A. (3,0) B. (-3,2) C. (-3,0) D. (-1,2)
参考答案:
A
【分析】
根据题意,设P的坐标为(a,b),分析可得,解可得a、b的值,即可得答案.
【详解】设P的坐标为(a,b),则PQ的中点坐标为(,),
若点P与Q(1,﹣2)关于x+y﹣1=0对称,则有,
解可得:a=3,b=0,
则点P的坐标为(3,0);
故选:A.
【点睛】本题考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法,涉及直线与直线的位置关系,属于基础题.
3. 已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+α的最大值与最小值之和为﹣2.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求使得函数f(x)≥0成立的x的集合.
参考答案:
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【分析】(Ⅰ)利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,结合三角函数的图象和性质,求出f(x)的最大值和最小值,可得a的值,即得到f(x)的解析式.
(Ⅱ)函数f(x)≥0,结合三角函数的图象和性质,求解即可.
【解答】解:函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+α.
化简可得:f(x)=cos2x+sin2x+cos2x++a
=cos2x+sin2x+2+a
=2sin(2x+)+2+a.
(Ⅰ)∵sin(2x+)的最大值为1,最小值为﹣1.
∴4+2a=﹣2,
则 a=﹣3.
∴函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+)﹣1.
(Ⅱ)函数f(x)≥0,即2sin(2x+)﹣1≥0.
得:sin(2x+).
∴≤2x+≤.k∈Z.
解得:kπ≤x≤,
故得使得函数f(x)≥0成立的x的集合为{x|kπ≤x≤,k∈Z}.
4. 设,向量且,则( )
A. B. C.2 D.10
参考答案:
B
5. 已知有实根,则a与b夹角的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 己知函数,若方程有三个不同的实数根,则实数的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2) C. (0,2] D.(0,+∞)
参考答案:
A
7. 在△中,为边的三等分点,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 已知指数函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的差为,则实数a的值为( )
A. B. C.或 D.4
参考答案:
C
【考点】指数函数的图象与性质.
【分析】分类由指数函数的单调性求得最值,作差求解a值得答案.
【解答】解:当0<a<1时,y=ax在[0,1]上的最大值与最小值分别为1,a,则1﹣a=,得a=;
当a>1时,y=ax在[0,1]上的最大值与最小值分别为a,1,则a﹣1=,得a=.
∴实数a的值为或.
故选:C.
9. 函数=的定义域为( )
A.[1,+∞) B. [,1] C.(,+∞) D.(,1]
参考答案:
D
略
10. 在△ABC中,若,则这个三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知x>,求函数y=4x﹣2+的最小值是 .
参考答案:
5
【考点】基本不等式.
【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵x>,∴4x﹣5>0.
∴函数y=4x﹣2+=(4x﹣5)++3=5,当且仅当4x﹣5=1,即x=时取等号.
∴函数y=4x﹣2+的最小值是5.
故答案为:5.
12. 不等式log (2-1)·log (2-2)<2的解集是_______________。
参考答案:
㏒,㏒
略
13. 在下列五个命题中,
①函数y=tan(x+)的定义域是 {x | x ≠+ k,k∈Z};
②已知sinα =,且α∈[0,2],则α的取值集合是{} ;
③函数的最小正周期是;
④直线是函数图象的一条对称轴;
⑤函数的最小值为.
把你认为正确的命题的序号都填在横线上 .
参考答案:
①③④⑤
14. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则f(9)= .
参考答案:
3
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用.
【专题】计算题.
【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式,代入点的坐标,求出幂函数的解析式,再求f(16)的值
【解答】解:由题意令y=f(x)=xa,由于图象过点(2,),
得 =2a,a=
∴y=f(x)=
∴f(9)=3.
故答案为:3.
【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用,解题的关键是熟练掌握幂函数的性质,能根据幂函数的性质求其解析式,求函数值.
15. 是棱长为的正方体的四个顶点,且三棱锥的四个面都是直角三角形,则其全面积为 .
参考答案:
16. 是等比数列,且则为___________
参考答案:
略
17. 点(1,2)和(﹣1,m)关于kx﹣y+3=0对称,则m+k= .
参考答案:
5
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程.
【分析】根据中点坐标公式和点(1,2)和(﹣1,m)确定的直线与kx﹣y+3=0垂直,即斜率乘积为﹣1,可得m,k得答案.
【解答】解:由题意,点(1,2)和(﹣1,m)关于kx﹣y+3=0对称,
则点(,)在直线kx﹣y+3=0上,
可得:,解得m=4.
那么:点(1,2)和(﹣1,4)确定的直线的斜率为﹣1与kx﹣y+3=0垂直,
故得:k=1
则m+k=4+1=5,
故答案为:5.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 解关于x的不等式.
参考答案:
原不等式等价于
(1)当时,解集为
(2)当时,原不等式可化为,
因为,所以解集为
(3)当时,,解集为
(4)当时,原不等式等价于,即,
解集为
(5)当时,,解集为
综上所述,当时,解集为;当时,解集为;
当时,解集为;当时,解集为
说明:每种情况2分,最后综上2分
19. 已知集合,.
(1)当时,求,;
(2)若,求实数的取值范围.
参考答案:
略
20. 已知集合,,, R.
⑴ 求,(CuA)∩B;
⑵ 如果,求a的取值范围.
参考答案:
解析:⑴ (CuA)∩B={x∣1
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