湖北省武汉市第六十中学2023年高二数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设 表示两条直线,表示两个平面,下列命题中正确的是( )
A. 若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
参考答案:
C
略
2. 已知向量=(2,﹣3),=(x,6),且,则|+|的值为( )
A. B. C.5 D.13
参考答案:
B
【考点】平行向量与共线向量;向量的模;平面向量的坐标运算.
【分析】根据两个向量平行的坐标表示求出x的值,然后运用向量的坐标加法运算求出两个和向量的坐标,最后利用求模公式求模.
【解答】解:由向量=(2,﹣3),=(x,6),且,
则2×6﹣(﹣3)x=0,解得:x=﹣4.
所以,
则=(﹣2,3).
所以=.
故选B.
3. 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( )
A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1
参考答案:
D
【考点】DB:二项式系数的性质.
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中x2的系数为+a?=5,由此解得a的值.
【解答】解:已知(1+ax)(1+x)5=(1+ax)(1+x+x2+x3+x4+x5)
展开式中x2的系数为+a?=5,解得a=﹣1,
故选:D.
5. P为△ABC所在平面外的一点,且PA、PB、PC两两垂直,则下列命题①PA⊥BC ② PB⊥AC ③PC⊥AB ④AB⊥BC,其中正确的个数是
A.3 B.2 C.1 D.0
参考答案:
A
略
6. 已知,,若∥,则的值是( )
A、1 B、-1 C、4 D、-4
参考答案:
D
略
7. 函数的定义域是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
8. 如图,设向量=(3,1),=(1,3),若=λ+μ,且μ≥λ≥1,则用阴影表示C点的位置区域正确的是( )
参考答案:
C
略
9. 设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A.原命题真,逆命题假 B.原命题假,逆命题真
C.原命题与逆命题均为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题
参考答案:
A
【考点】26:四种命题的真假关系.
【分析】根据题意,写出逆否命题,据不等式的性质判断出逆否命题是真命题,所以原命题是真命题;写出逆命题,通过举反例,说明逆命题是假命题.
【解答】解:逆否命题为:a,b都小于1,则a+b<2是真命题
所以原命题是真命题
逆命题为:若a,b 中至少有一个不小于1则a+b≥2,例如a=3,b=﹣3满足条件a,b 中至少有一个不小于1,但此时
a+b=0,故逆命题是假命题
故选A
10. 不等式的解集是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:
身高x(cm)
160
165
170
175
180
体重y(kg)
63
66
70
72
74
根据上表可得回归直线方程:=0.56x+,据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为 .
参考答案:
70.12kg
【考点】线性回归方程.
【专题】概率与统计.
【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点,根据样本中心点在线性回归直线上,利用待定系数法做出a的值,得到线性回归方程,根据所给的x的值,代入线性回归方程,预报身高为172cm的高三男生的体重.
【解答】解:由表中数据可得==170,==69,
∵(,)一定在回归直线方程y=0.56x+a上,
∴69=0.56×170+a,
解得a=﹣26.2
∴y=0.56x﹣26.2,
当x=172时,y=0.56×172﹣26.2=70.12.
故答案为:70.12kg.
【点评】本题考查线性回归方程,解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点,这是求解线性回归方程的步骤之一.利用线性回归方程预测函数值,题目的条件告诉了线性回归方程的系数,省去了利用最小二乘法来计算的过程.属于基础题.
12. 已知,则的最小值是 。
参考答案:
4;
13. 某商品在5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如下表所示:
价格x(元)
9
9.5
10
10.5
11
销售量y(件)
11
a
8
6
5
由散点图可知,销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系,且回归直线方程是=﹣3.2x+4a,则a= .
参考答案:
10
【考点】两个变量的线性相关.
【分析】根据回归直线过样本中心点(,),求出平均数,代入回归直线方程求出a的值即可.
【解答】解:根据题意得,
==10,
==+6,
因为回归直线过样本中心点(,),
所以+6=﹣3.2+4a,
解得a=10.
故答案为:10.
【点评】本题考查了平均数的计算问题,也考查了回归直线过样本中心点的应用问题,是基础题目.
14. 如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为 米.
参考答案:
2
【考点】抛物线的应用.
【分析】先建立直角坐标系,将A点代入抛物线方程求得m,得到抛物线方程,再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案.
【解答】解:如图建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=my,
将A(2,﹣2)代入x2=my,
得m=﹣2
∴x2=﹣2y,代入B(x0,﹣3)得x0=,
故水面宽为2m.
故答案为:2.
【点评】本题主要考查抛物线的应用.考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力.
15. 化简:(sinα+cosα)2=( )
A.1+sin2αB.1﹣sinαC.1﹣sin2αD.1+sinα
参考答案:
A
【考点】二倍角的正弦;同角三角函数基本关系的运用.
【分析】把(sinα+cosα)2 展开,利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式可求得结果.
【解答】解:∵(sinα+cosα)2 =1+2sinαcosα=1+sin2α,
故选:A.
16. 中,若三边a、b、c成等比数列,且,则 .
参考答案:
略
17. 在平面直角坐标系中,已知圆上有且只有四个点到直线的距离为,则实数的取值范围是________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为,圆心在直线上.
(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;
(2)当圆心在直线上移动时,求点到圆上的点的最短距离.
参考答案:
解:(1)由得圆心C为(3,2),∵圆的半径为
∴圆的方程为:
显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为,即
∴∴∴∴或者
∴所求圆C的切线方程为:或者
(2) 当圆心在直线上移动时,点到圆心的最短距离为
则点到圆上的点的最短距离为
略
19. (本小题满分12分) 已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
参考答案:
解 f′(x)=-3x2+6x+9,令f′(x)=0,即-3x2+6x+9=0,
解得x1=-1,x2=3(舍去).当x变化时,
f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
-2
(-2,-1)
-1
(-1,2)
2
f′(x)
-
-
0
+
+
f(x)
2+a
↘
-5+a
↗
22+a
由此得f(2),f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,
∴f(2)=22+a=20,∴a=-2,
从而得函数f(x)在[-2,2]上的最小值为f(-1)=-5+a=-7.
略
20. 已知直线过点且与直线平行,直线过点且与直线垂直.
(Ⅰ)求直线,的方程.
(Ⅱ)若圆与,,同时相切,求圆的方程.
参考答案:
见解析
解:()设,将代入得,,
故,
设,将代入得,
故.
()
联立,解得,,
联立,解得,,
所以圆心坐标为或.
又到的距离,
∴.
故与,,都相切的圆的方程为或.
21. (本小题满分14分)
某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。
(1)sin213°+cos217°-sin13°cos17°
(2)sin215°+cos215°-sin15°cos15°
(3)sin218°+cos212°-sin18°cos12°
(4)sin2(-18°)+cos248°- sin(-18°)cos48°
(5)sin2(-25°)+cos255°- sin(-25°)cos55°
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。
参考答案:
略
22. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如下:求:
(1)根据直方图可得这100名学生中体重在(56,64)的学生人数.
(2)请根据上面的频率分布直方图估计该地区17.5-18岁的男生体重.
(3)若在这100名男生中随意抽取1人,该生体重低于62的概率是多少?
参考答案:
(1)40;(2)65.2kg;(3)P=0.28
【分析】
(1)根据频率直方图的性质,即可求解这100名学生中体重在(56,64)的学生人数;
(2)根据频率分布直方图中样本的平均数的计算公式,即可求解;
(3)根据频率分布直方图的性质,即可求得样本数据中低于62kg的频率。
【详解】(1)根据频率直方图得,这100名学生中体重在(56,64)的学生人数为:
(人);
(2)根据频率分布直方图得,样本的平均数是:
即利用平均数来衡量该地区17.5-18岁的男生体重是65.2kg;
(3)根据频率分布直方图得,样本数据中低于62kg的频率是 ,
∴这100名男生中随意抽取1人,该生体重低于62kg的概率是.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用,其中解答中熟记频率分布直方图的性质,合理计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。