湖北省荆州市棋盘乡王垸中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数,以下关于的导函数说法正确的有( )
①其图像可由 向左平移 得到; ②其图像关于直线对称;
③其图像关于点对称; ④在区间上是增函数.
A.①②③ B.②③④ C.③④ D.①②③④
参考答案:
B
2. 函数y=tan的定义域是( )
A.{x|x≠,x∈R} B.{x|x≠﹣,x∈R}
C.{x|x≠kπ+,k∈Z,x∈R} D.{x|x≠kπ+,k∈Z,x∈R}
参考答案:
D
【考点】正切函数的定义域.
【分析】由正切函数的定义知x﹣≠kπ+,解出x不满足的范围即可.
【解答】解:∵函数y=tan=﹣tan(x﹣)
∴x﹣≠kπ+,
∴x≠kπ+π,k∈Z.
故选 D
3. 把一颗骰子投掷两次,第一次得到的点数记为,第二次得到的点数记为,以为系数得到直线,又已知直线,则直线与相交的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
4. 已知p:?x∈R,x2﹣x+1>0,q:?x∈(0,+∞),sinx>1,则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.¬p∨q C.p∨¬q D.¬p∧¬q
参考答案:
C
【考点】复合命题的真假.
【分析】分别判断出p,q的真假,从而判断出其复合命题的真假即可.
【解答】解:关于p:?x∈R,x2﹣x+1=+>0,成立,
故命题p是真命题,
关于q:?x∈(0,+∞),sinx>1,
∵?x∈(0,+∞),sinx≤1,
故命题q是假命题,
故p∨¬q是真命题,
故选:C.
5. 若一个α角的终边上有一点P(-4,a)且sin α·cos α=,则a的值为( )
A. B.± C.-或- D.
参考答案:
C
6. 函数在同一直角坐标系下的图象大致是( )
A B C D
参考答案:
C
7. 已知集合,或,若,则的取值范围是( )
A.(-∞,3] B.(-∞,4] C.[3,4] D.(3,4)
参考答案:
C
8. 已知数列的前n项和,正项等比数列中,,则( )
A. n-1 B. 2n-1 C. n-2 D. n
参考答案:
D
略
9. 复数的共轭复数是( )
A.-1+ B.-1- C.1+ D.1-
参考答案:
10. 已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为( )
A.3 B.2 C. D.1
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,正方体的棱长为,分别为棱,上的点.下列说法正确的是__________.(填上所有正确命题的序号)
①平面;
②在平面内总存在与平面平行的直线;
③在侧面上的正投影是面积为定值的三角形;
④当为中点时,平面截该正方体所得的截面图形是五边形;
⑤当为中点时,平面与棱交于点,则.
参考答案:
②③④⑤
略
12.
已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为、时,那么与之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质
参考答案:
答案:若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为、时,那么与之积是与点P的位置无关的定值.
解析:设点M、P的坐标为()、(),则N().
因为点M()在已知双曲线上,所以,同理.
则(定值).
13. 直线y=x+ 2被圆M:所截得的弦长为
参考答案:
14. 如图,AB为⊙O的直径过点B作⊙O的切线BC,OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC于点D,若AB=BC=2,则CD的长为 _________ .
参考答案:
15. 已知数列{an}的前n项和公式为,则数列{an}的通项公式为___.
参考答案:
【分析】
由题意,根据数列的通项与前n项和之间的关系,即可求得数列的通项公式.
【详解】由题意,可知当时,;
当时,.
又因为不满足,所以.
【点睛】本题主要考查了利用数列的通项与前n项和之间的关系求解数列的通项公式,其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系,合理准确推导是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
16. 设实数x,y满足约束条件,若目标函数z=(a2+2b2)x+y的最大值为8,则2a+b的最小值为 .
参考答案:
考点:简单线性规划.
专题:不等式的解法及应用.
分析:作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合即可得到结论.
解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图:由z=(a2+2b2)x+y得y=﹣(a2+2b2)x+z,
由图象可知当y=﹣(a2+2b2)x+z,经过点A时,目标函数的截距最大,此时z最大,
由,解得,即A(1,4),
则a2+2b2+4=8,
即a2+2b2=4,即,
设a=2sinθ,b=cosθ,
则2a+b=4sinθ+cosθ=3sin(θ+α),其中α为参数,
则当sin(θ+α)=﹣1时,2a+b有最小值为,
故答案为:
点评:本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合以及三角换元法是解决本题的关键.
17. 已知数列的通项公式为,将数列中各项进行分组如下。第1组:;第2组:,;……;如果第k组的最后一个数为,那么第k+1组的(k+1)个数依次排列为:,,……,,则第10组的第一个数是___▲_____
参考答案:
89
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
已知函数对任意实数恒有,且当x>0时,又.
(1)判断的奇偶性;
(2)求证:是上的减函数;
(3)求在区间[-3,3]上的值域;
(4)若,不等式恒成立,求的取值范围.
参考答案:
(1)解:取则
取
对任意恒成立 ∴为奇函数.
19. 在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,且满足.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若、,求.
参考答案:
略
20. 对于函数f(x)(x∈D),若x∈D时,恒有>成立,则称函数是D上的J函数.
(Ⅰ)当函数f(x)=mlnx是定义域上的J函数时,求m的取值范围;
(Ⅱ)若函数g(x)为(0,+∞)上的J函数,
1 试比较g(a)与g(1)的大小;
2 求证:对于任意大于1的实数x1,x2,x3,…,xn,均有
g(ln(x1+x2+…+xn))>g(lnx1)+g(lnx2)+…+g(lnxn).
参考答案:
解:(Ⅰ)由,可得,
因为函数是函数,所以,即,
因为,所以,即的取值范围为.……………………………3分
(Ⅱ)①构造函数,
则,可得为上的增函数,
当时,,即,得;
当时,,即,得;
当时,,即,得.…………………6分
②因为,所以,
由①可知,
所以,整理得,
同理可得,…,.
把上面个不等式同向累加可得【全,品…中&高*考*网】.…………………………12
略
21. 已知A(0,1),B(0,﹣1),M(﹣1,0),动点P为曲线C上任意一点,直线PA,PB的斜率之积为,动直线l与曲线C相交于不同两点Q(x1,y1),R(x2,y2),其中y1>0,y2>0且满足.
(1)求曲线C的方程;
(2)若直线l与x轴相交于一点N,求N点坐标.
参考答案:
(1)(x≠0);(2)N(﹣2,0)
【分析】
(1)由已知及求轨迹方程的步骤可得到曲线C的轨迹方程;
(2)设直线l的方程为y=k(x﹣m),联立直线方程与椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,由已知可得kMQ+kMR=0,结合根与系数的关系代入即可解出N点坐标.
【详解】(1)动点P为曲线C上任意一点,直线PA,PB的斜率之积为,设动点P(x,y),x≠0;
则有:kPA?kPB?,化简可得:,x≠0.
故曲线C的方程为:(x≠0);
(2)设点N的坐标为(m,0).依题意,直线l的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),
则直线l的方程y=k(x﹣m),将y=k(x﹣m)代入方程y2=1(x≠0).
得(2k2+1)x2﹣4k2mx+2(k2m2﹣1)=0.
则△=(﹣4k2m)2﹣8(2k2+1)(k2m2﹣1)=8(2k2﹣k2m2+1)>0,
动直线与曲线C相交于不同两点Q(x1,y1),R(x2,y2),其中y1>0,y2>0,
x1+x2,x1?x2,且满足,即,
如图,
,,
则,故kMQ+kMR=0,
即,
化简得:,
即,整理得m+2=0,即m=﹣2.
故点N的坐标为(﹣2,0).
【点睛】本题考查轨迹方程的求解和直线与圆锥曲线的位置关系,着重考查学生数学运算和逻辑推理能力,题中由得到kMQ+kMR=0是解决第二问的关键,属难题.
22. 如图(甲),等腰直角三角形的底边AB=4,点D在线段AC上,DE⊥AB于点E,现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如图(乙))
(Ⅰ)求证:PB⊥DE;
(Ⅱ)若PE⊥BE, PD=,求四棱锥P﹣DEBC的体积.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质.
【专题】计算题;转化思想;综合法;立体几何.
【分析】(I)根据翻折后DE仍然与BE、PE垂直,结合线面垂直的判定定理可得DE⊥平面PEB,再由线面垂直的性质可得PB⊥DE;
(II)证明PE⊥平面DEBC,PE是四棱锥P﹣DEBC的高,求出DEBC的面积,即可求四棱锥P﹣DEBC的体积.
【解答】(Ⅰ)证明:∵DE⊥AB,∴DE⊥BE,DE⊥PE,
∵BE∩PE=E,∴DE⊥平面PEB,
又∵PB?平面PEB,∴BP⊥DE;
(Ⅱ)解:∵PE⊥BE,PE⊥DE,DE∩BE=E,
∴PE⊥平面DEBC,
∴PE是四棱锥P﹣DEBC的高.
在等腰直角三角形PED中,由PD=,可得PE=1,
∴在等腰直角三角形AED中,AE=DE=1,S△AED==,
在等腰直角三角形ACB中,过C作CM⊥AB于M,则CM=2,
∴S△ACB==4,∴SDEBC=4﹣=,
∴VP﹣DEBC==.
【点评】本题考查求四棱锥P﹣DEBC的体积,考查线面垂直的判定与性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.