湖北省荆门市长寿综合中学2023年高三数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若复数, ,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
,选A.
2. 命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
3. 如右上图,已知为如图所示的程序框图输出的结果,二项式的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 设满足约束条件,若 恒成立,则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
作出可行域,由恒成立知
令,由图可知,当直线与椭圆相切时,最小,消 得:得∴.故选C.
5. 一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成,其三视图如图所示,则该几何体的体
积是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
试题分析:由三视图可知,这是半个圆柱和三棱柱组成的几何体,所以体积为.
考点:三视图.
6. 球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,ABC是边长为2的正三角形,面SAB⊥面ABC,则棱锥S—ABC的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. 已知,把数列的各项排列成如下的三角形状,
记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,11)= ( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
略
8. 已知向量( )
B C D
参考答案:
B
9. 已知是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:
①若;
②若;
③如果相交;
④若
其中正确的命题是 ( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
参考答案:
D
10. 设非零向量 ,满足 ,与 的夹角为
A. 60 B.90 C.120 D 150
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式的解集为_______ ___
参考答案:
略
12. 设函数f(x)的导函数f′(x)=x3﹣3x+2,则f(x)的极值点是 .
参考答案:
﹣2
考点: 利用导数研究函数的极值.
专题: 导数的综合应用.
分析: 直接利用导函数为0,求出方程的解,判断是否是极值点即可.
解答: 解:函数f(x)的导函数f′(x)=x3﹣3x+2,
令x3﹣3x+2=0,
即(x+2)(x2﹣2x+1)=0,
解得x=﹣2或x=1,
当x<﹣2时,f′(x)=x3﹣3x+2<0,1>x>﹣2时,f′(x)=x3﹣3x+2>0,x=﹣2是函数的极值点.
当x>1时,f′(x)=x3﹣3x+2>0,x=1不是函数的极值点.
故答案为:﹣2.
点评: 本题考查函数的极值点的求法与判断,是易错题,求解方程的根后,必须验证方程的根是否是函数的极值点.
13. 已知变量x、y满足条件则的最大值是______.
参考答案:
6
14. 已知集合,有下列命题:
①若,则;
②若,则;
③若,则可为奇函数;
④若,则对任意不等实数,总有成立.
其中所有正确命题的序号是 .(填上所有正确命题的序号)
参考答案:
②③
15. 若存在实数满足,则实数a的取值范围是 。
参考答案:
16. 已知样本,,,,的平均数为1,方差为2,则,,,,的平均数和方差分别是________.
参考答案:
4,2
【分析】
根据平均数和方差的性质直接求解即可.
【详解】由平均数的性质知:每个数加上同一个数,平均数也加上同一个数
由方差的性质知:每个数加上同一个数,方差不变
本题正确结果:,
【点睛】本题考查平均数和方差的性质应用,属于基础题.
17. 在二项式的展开式中,常数项是__________,系数为有理数的项的个数是________.
参考答案:
280 5
【分析】
根据二项式展开式的通项即可求解.
【详解】展开式的通项,若为常数项则
即,,即常数项为280;
由通项可知系数为有理项即为有理数,即k可取,共有5项
所以答案分别为280,5
【点睛】本题考查二项式的展开式,比较基础.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)在△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,若a、b、c成等差数列,sinB= 且△ABC的面积为,求b.
参考答案:
解析:由a、b、c成等差数列
得a+c=2b 平方得a2+c2=4b2-2ac ①……2分
又S△ABC=且sin B=, ∴S△ABC=ac· sin B=ac×=ac=
故ac= ②………………………………………………………………………4分
由①②可得a2+c2=4b2- ③…………………………………………………5分
又∵sin B=,且a、b、c成等差数列∴cos B===…………8分
由余弦定理得: b2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-2××=a2+c2- ④………10分
由③④可得 b2=4∴b=2………………….…12分
19. 设为数列的前项和,对任意的N,都有为常数,且。
(1)求证:数列是等比数列;
(2)设数列的公比,数列满足 ,N,求数列的通项公式;
(3)在满足(2)的条件下,求数列的前项和。
参考答案:
(1)证明:当时,,解得.
当时,.即
∵为常数,且, ∴.
∴数列是首项为1,公比为的等比数列.
(2)解:由(1)得,,.
∵, ∴,即.
∴是首项为,公差为1的等差数列.
∴,即().
(3)解:由(2)知,则.
所以,
即, ①
则 ②
②-①得,
.
略
20. 已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若关于x的不等式恰有3个整数解,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1);(2).
【分析】
(1)由题意,分类讨论,即求解不等式的解集.
(2)由(1)结合函数的单调性,以及,,,,的值,得到不等式,即可求解.
【详解】(1)由题意,函数,可得,
因为,所以当时,,,
当时,,,
当时,,,
所以不等式的解集为.
(2)由(1)知的单调减区间为,单调增区间为,
又,,,,,
所以,所以或,
故的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解及应用,其中解答中熟记含绝对值不等式的解法,以及合理利用绝对值不等式的性质是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.
21. 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为为参数),在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,曲线C3:θ=(ρ>0),A(2,0).
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)设C3分别交C1,C2于点P,Q,求△APQ的面积.
参考答案:
【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)先把曲线C1的参数方程化为普通方程,由此能求出C1的极坐标方程.
(2)依题意,设点P、Q的极坐标分别为(ρ1,),(ρ2,),将代入ρ=4cosθ,得ρ1=2,将代入ρ=2sinθ,得ρ2=1,由此能求出结果.
【解答】解:(1)∵曲线C1的参数方程为为参数),
∴C1的普通方程为(x﹣2)2+y2=4,即x2+y2﹣4x=0,
∴C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0,即ρ=4cosθ.
(2)依题意,设点P、Q的极坐标分别为(ρ1,),(ρ2,),
将代入ρ=4cosθ,得ρ1=2,
将代入ρ=2sinθ,得ρ2=1,
∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2﹣1,
依题意,点A(2,0)到曲线(ρ>0)的距离d=|OA|sin=1,
∴S△APQ=|PQ|?d=×(2)×1=.
【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法,考查三角形面积的求法,考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的应用,考查运算求解能力、转化化归思想,是中档题.
22. (本小题13分) 甲乙两个盒子里各放有标号为1,2,3,4的四个大小形状完全相同的小球,从甲盒中任取一小球,记下号码后放入乙盒,再从乙盒中任取一小球,记下号码,设随机变量(1)求的概率;(2)求随机变量的分布列及数学期望。
参考答案:
(1)
(2)
当x=1时 (x,y)=(1,2) (2,1) (2,3) (3,2) (3,4) (4,3)