湖北省武汉市第四十一中学2023年高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (5分)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是()
A. B. y=(x﹣1)2 C. y=21﹣x D. y=lg(x+3)
参考答案:
D
考点: 函数单调性的判断与证明.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 利用基本初等函数的单调性逐项判断即可.
解答: A中,在(﹣1,+∞)和(﹣∞,﹣1)上单调递减,故在(0,+∞)上也单调递减,排除A;
B中,y=(x﹣1)2在(﹣∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,故在(0,+∞)上不单调,排除B;
y=21﹣x在R上单调递减,排除C;
y=lg(x+3)在(﹣3,+∞)上递增,故在(0,+∞)上也单调递增,
故选D.
点评: 本题考查函数单调性的判断,属基础题,熟练掌握常见基本初等函数的单调性是解决相关问题的基础.
2. 函数的图像大致是 ( )
A B C D
参考答案:
A
略
3. 若函数在上是单调函数,则的取值范围是
A B C D
参考答案:
C
4. 下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
对A:定义域为 ,函数为非奇非偶函数,排除A;
对B:为奇函数, 排除B;
对C:在上单调递减, 排除C;故选D
5. △ABC中三个内角为A、B、C,若关于x的方程x2﹣xcosAcosB﹣cos2=0有一根为1,则△ABC一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
参考答案:
B
【考点】解三角形.
【专题】计算题.
【分析】先把1代入方程,然后利用余弦的二倍角化简整理,最后利用两角和公式求得cos(A﹣B)=1推断出A=B,则可知三角形的形状.
【解答】解:依题意可知1﹣cosAcosB﹣cos2=0,
∵cos2===
∴1﹣cosAcosB﹣=0,整理得cos(A﹣B)=1
∴A=B
∴三角形为等腰三角形.
故选B
【点评】本题主要考查了解三角形和三角形的形状判断.解三角形常与三角函数的性质综合考查,应注意积累三角函数的基本公式.
6. 已知数列{an}是一个递增数列,满足,,,则( )
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
参考答案:
B
【分析】
代入n=1,求得=1或=2或=3,由数列是一个递增数列,满足分类讨论求得结果.
【详解】当n=1时,则=2,因为,
可得=1或=2或=3,
当=1时,代入得舍去;
当=2时,代入得
,即=2,,
,又是一个递增数列,且满足
当=3时,代入得不满足数列是一个递增数列,舍去.
故选B.
【点睛】本题考查数列递推式,考查学生的计算能力与逻辑推理能力,属于中档题.
7. 对任意正数x,y不等式恒成立,则实数的最小值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
A
略
8. 如图,一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面图形的面积为( )
A. a2 B.a2
C. 2a2 D.2a2
参考答案:
C
9. 幂函数的图像经过点,则的值为 ( )
A. B.4 C.9 D.16
参考答案:
C
略
10. 数列{an}的通项公式an=ncos,其前项和为Sn,则S2013等于( )
A.
1006
B.
2012
C.
503
D.
0
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式的解集为,则实数的取值范围是
参考答案:
12. 已知关于x的不等式的解集是,则不等式的解集为_________
参考答案:
【分析】
根据不等式解集与对应方程根的关系求关系,再代入化简求不等式解集.
【详解】因为的解集是,
所以为的两根,且,
即
因此,
即不等式的解集为.
【点睛】本题考查不等式解集与对应方程根的关系以及解一元二次不等式,考查基本分析求解能力,属中档题.
13. 已知全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={-1,0,1},B={-2,-1,0},则A∩(?UB)=____________.
参考答案:
{1}
14. 矩形ABCD中,AB = 4,BC = 3,沿AC将矩形ABCD折成一个三棱锥D—ABC,当三棱锥的体积最大时,它的外接球的体积为________________
参考答案:
15. 下列叙述正确的序号是
(1)对于定义在R上的函数,若,则函数不是奇函数;
(2) 定义在上的函数,在区间上是单调增函数,在区间上也是单调增函数,则函数在上是单调增函数;
(3) 已知函数的解析式为=,它的值域为,那么这样的函数有9个;
(4)对于任意的,若函数,则
参考答案:
略
16. 某算法流程图如图所示,该程序运行后,若输出的x=15,则实数a等于 .
参考答案:
1
【考点】程序框图.
【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,即可解得a的值.
【解答】解:模拟执行程序,可得
n=1,x=a
满足条件n≤3,执行循环体,x=2a+1,n=2
满足条件n≤3,执行循环体,x=2(2a+1)+1=4a+3,n=3
满足条件n≤3,执行循环体,x=2(4a+3)+1=8a+7,n=4
不满足条件n≤3,退出循环,输出x的值为15.
所以:8a+7=15,解得:a=1.
故答案为:1
17. 函数y=的定义域是_______________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18.
设数列满足,,其中.
(1)证明:对一切,有;
(2)证明:
参考答案:
证明 : (1)在已知关系式中,令,可得;
令,可得 ①
令,可得 ②
由①得,,,,
代入②,化简得. ----------------------------7分
(2)由,得,故数列是首项为,公差为2的等差数列,因此.
于是.
因为,所以
.
------------------14分
19. 已知函数f(x)=Asin(ωx+θ)+1,(A>0,0<θ<π),振幅为1,图象两个相邻最高点间距离为π,图象的一条对称轴方程为,若将f(x)的图象向右平移个单位,再向下平移一个单位得到函数g(x)图象.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,若,试判断△ABC的形状.
参考答案:
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质.
【分析】(1)根据振幅求A,由周期求ω,根据图象的对称轴方程求出θ,可得f(x)的解析式,再利用正弦函数的单调性求得f(x)的增区间.
(2)先由y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式,再利用三角恒等变换判断三角形的形状.
【解答】解:(1)由题意可得A=1, =π,∴ω=2,
再根据图象的一条对称轴方程为,可得2+θ=kπ+,k∈Z,
即θ=kπ+,∴θ=,f(x)=sin(2x+)+1.
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,可得kπ﹣≤x≤kπ+,
故函数f(x)的增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位,可得y=sin[2(x﹣)+]+1=sin2x+1的图象;
再向下平移一个单位得到函数g(x)=sin2x的图象.
在△ABC中,若,则sinBsinC==,
即2sinBsinC=1﹣cos(B+C)=1﹣cosBcosC+sinBsinC,
化简可得 cos(B﹣C)=1.
再结合B﹣C∈(﹣π,π),可得B=C,故△ABC为等腰三角形.
【点评】本题主要考查由由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,正弦函数的增区间,y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,三角恒等变换,属于中档题.
20. (本题满分12分)已知函数,
(Ⅰ)作出函数的简图,写出函数的单调递增区间;
(Ⅱ)求在闭区间上最大值;
参考答案:
函数的递增区间为;
21. (本小题满分16分)已知数列中,,,其前项和满足,
其中(,).
(1)求数列的通项公式;
(2)设为非零整数,),
试确定的值,使得对任意,都有成立.
参考答案:
解:(1)由已知,(,),
即(,),且.
∴数列是以为首项,公差为1的等差数列.
∴.
(2)∵,∴,要使恒成立,
∴恒成立,
∴恒成立,
∴恒成立.
(ⅰ)当为奇数时,即恒成立,当且仅当时,有最小值为1,∴.
(ⅱ)当为偶数时,即恒成立,当且仅当时,有最大值,∴.
即,又为非零整数,则.
综上所述,存在,使得对任意,都有.
略
22. 集合A={x|a﹣1<x<2a+1},B={x|0<x<1},若A∩B=?,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】集合关系中的参数取值问题.
【专题】计算题.
【分析】①当A=?时,a﹣1≥2a+1,解得a的取值范围.②当A≠?时,有 或 ,由此求得实数a的取值范围,再把这两个范围取并集,即得所求.
【解答】解:∵集合A={x|a﹣1<x<2a+1},B={x|0<x<1},A∩B=?,
①当A=?时,a﹣1≥2a+1,解得a≤﹣2.
②当A≠?时,有 或 .
解得﹣2<a≤﹣,或 a≥2.
综上可得a≤﹣,或 a≥2,即实数a的取值范围为(﹣∞,﹣]∪[2,+∞).
【点评】本题主要考查集合中参数的取值问题,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题.