湖北省荆州市周沟中学2022年高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)=,若数列{an}满足an=f(n)(n∈N﹡),且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( )
A.[,3) B.(,3) C.(2,3) D.(1,3)
参考答案:
C
【考点】82:数列的函数特性.
【分析】根据题意,首先可得an通项公式,这是一个类似与分段函数的通项,结合分段函数的单调性的判断方法,可得;解可得答案.
【解答】解:根据题意,an=f(n)=;
要使{an}是递增数列,必有;
解可得,2<a<3;
故选:C.
2. 《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著.其第五卷《商功》中有如下问题:“今有圆堢壔,周四丈八尺,高一丈一尺,问积几何?”这里所说的圆堢壔就是圆柱体,其底面周长是4丈8尺,高1丈1尺,问它的体积是多少?若π取3,估算该圆堢壔的体积为( )
A.1998立方尺 B.2012立方尺 C.2112立方尺 D.2324立方尺
参考答案:
C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】根据周长求出圆堢壔的底面半径,代入圆柱的体积公式计算.
【解答】解:设圆柱形圆堢壔的底面半径为r,则由题意得2πr=48,
∴r=≈8尺,又圆堢壔的高h=11尺,
∴圆堢壔的体积V=πr2h=π×64×11≈2112立方尺.
故选:C.
【点评】本题考查了圆柱的体积计算,属于基础题.
3. 已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合,如果对于定义域内的任意实数,函数值均为正,则实数的取值范围是 .
参考答案:
或
略
4. 设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 下列有关命题的说法正确的是( )
A.命题“若,则” 的否命题为“若,则”
B.“”是“”的必要而不充分条件
C.命题“存在,使得”的否定是“对任意,均有”
D.命题“若,则”的逆否命题为真命题
参考答案:
D
略
6. 已知等差数列的前项和为,且,则( )
A.2 B.4 C.8 D.16
参考答案:
C
由得,,又,∴,即.
7. 设f(x)=3x﹣x2,则在下列区间中,使函数f(x)有零点的区间是( )
A.[0,1] B.[1,2] C.[﹣2,﹣1] D.[﹣1,0]
参考答案:
D
【考点】二分法求方程的近似解.
【分析】令f(x)=3x﹣x2=0,得3x=x2,分别作出函数y=3x,t=x2的图象
观察图象的交点所在区间即可.
【解答】解:∵f(﹣1)=3﹣1﹣(﹣1)2=﹣1=﹣<0,
f(0)=30﹣02=1>0,
∴f(﹣1)?f(0)<0,∴有零点的区间是[﹣1,0].
8. 已知定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x﹣1),且当x∈[0,1]时,f(x)=x2,则关于x的方程f(x)=|x|在[﹣1,2]上根的个数是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
参考答案:
B
【考点】函数奇偶性的性质;抽象函数及其应用.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】关于x的方程f(x)=|x|在[﹣1,2]上根的个数,即函数y=f(x)和y=|x|的图象交点的个数,在同一坐标系中画出两个函数的图象,可得答案.
【解答】解:∵函数f(x)满足f(x+1)=f(x﹣1),
即f(x+2)=f(x),
故函数是以2为周期的周期函数,
又由函数f(x)为定义在实数集R上的偶函数,
且当x∈[0,1]时,f(x)=x2,
故在[﹣1,2]上,函数y=f(x)和y=|x|的图象如下所示:
由图可知:两个函数的图象共有4个交点,
故关于x的方程f(x)=|x|在[﹣1,2]上有4个根,
故选B.
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性,函数的周期性,函数的零点与方程的根,是函数图象和性质的综合应用,难度不大,属于基础题.
9. 已知命题:,且,命题:,.下列命题是真命题的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
10. 已知f(x+1)=f(x﹣1),f(x)=f(﹣x+2),方程f(x)=0在[0,1]内有且只有一个根,则f(x)=0在区间[0,2014]内根的个数为( )
A.1006 B.1007 C.2013 D.2014
参考答案:
C
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】由题意可推出f(x)=0的根为x=k+,k∈Z;从而得到f(x)=0在区间[0,2014]内根的个数.
解:∵f(x)=f(﹣x+2),
∴f(x)的图象关于x=1对称,
又∵方程f(x)=0在[0,1]内有且只有一个根,
∴方程f(x)=0在[1,2]内有且只有一个根,
故方程f(x)=0在[0,2]上有且只有两个根,;
又∵f(x+1)=f(x﹣1),
∴f(x)是周期为2的函数,
故f(x)=0的根为x=k+,k∈Z;
故f(x)=0在区间[0,2014]内根的个数为2013,
故选C.
【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用,属于中档题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线y=2sin(x+)cos(x﹣)和直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1,P2,P3,…,则|P2P4|等于 .
参考答案:
π
考点:两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数;三角函数的周期性及其求法.
专题:计算题;压轴题.
分析:本题考查的知识点是诱导公式,二倍角公式及函数图象的交点,将y=2sin(x+)cos(x﹣)的解析式化简得y=sin(2x)+1,令y=,解得x=kπ+±(k∈N),代入易得|P2P4|的值.
解:∵y=2sin(x+)cos(x﹣)
=2sin(x﹣+)cos(x﹣)
=2cos(x﹣)cos(x﹣)
=cos[2(x﹣)]+1
=cos(2x﹣)+1
=sin(2x)+1
若y=2sin(x+)cos(x﹣)=
则2x=2kπ+±(k∈N)
x=kπ+±(k∈N)
故|P2P4|=π
故答案为:π
点评: 求两个函数图象的交点间的距离,关于是要求出交点的坐标,然后根据两点间的距离求法进行求解.
12. 如图,△ABC中,延长CB到D,使BD=BC,当E点在线段AD上移动时,若,则t=λ﹣μ的最大值是 .
参考答案:
3
略
13. 函数的定义域为,若满足:①在内是单调函数;②存在,使在上的值域为,那么叫做闭函数,现有是闭函数,那么的取值范围是 ▲ .
参考答案:
14. 校团委组织“中国梦,我的梦”知识演讲比赛活动,现有4名选手参加决赛,若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲,则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有 种.
参考答案:
144
15. 若,则的最小值为________.
参考答案:
【知识点】基本不等式E6
因为,所以.
【思路点拨】可利用1的代换,把所求的式子转化成基本不等式特征,利用基本不等式求最值.
16. 下图是一个物体的三视图,根据图中尺寸(单位:cm),计算它的体积为 cm3.
参考答案:
17. 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 (用数字作答).
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),当x∈(0,1)时有f(x)=.
(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性并用定义证明.
参考答案:
(1)设x∈(-1,0),则-x∈(0,1),
在f(-x)=-f(x)中,令x=0,
f(-0)=-f(0)?f(0)=0.
综上,当x∈(-1,1)时,有:
(2)f(x)在(0,1)上是减函数.
证明:设0
0,01,2x2>2x1,
∴f(x2)
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