湖北省荆州市松滋第三中学2022-2023学年高一数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知奇函数,当时,则= ( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
参考答案:
D
略
2. 函数f(x)的定义域为D,若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时都有f(x1)≤f(x2),则称函数f(x)在D上为非减函数,设f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下条件:
(1)f(0)=0,(2)f()=f(x)(3)f(1﹣x)=1﹣f(x),则f()+f()=.
参考答案:
【考点】抽象函数及其应用.
【专题】新定义.
【分析】已知条件求出f(1)、f()、f()、f()、f()的值,利用当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),可求出f()的值,从而求出所求.
【解答】解:∵函数f(x)在[0,1]上为非减函数,①f(0)=0;③f(1﹣x)+f(x)=1,∴f(1)=1,
令x=,所以有f()=,
又∵②f()=f(x),令x=1,有f()=f(1)=,
令x=,有f()=f()=,f()=f()=,
非减函数性质:当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),∴<<,有f()≤f()≤f(),
而f()==f(),所以有 f()=,则 =.
故答案为:
【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用,以及新定义的理解,同时考查了计算能力和转化的思想,属于中档题.
3. 如果,,那么( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
由指数函数的性质可得,
由对数函数的性质可得,
,故选D.
4. 已知点(﹣4,3)是角α终边上的一点,则sin(π﹣α)=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】G9:任意角的三角函数的定义.
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义,诱导公式,求得sin(π﹣α)的值.
【解答】解:∵点(﹣4,3)是角α终边上的一点,
∴x=﹣4,y=3,r=|OP|=5,
∴sinα==,则sin(π﹣α)=sinα=,
故选:A.
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式,属于基础题.
5. 不论m为何值时,函数f(x)=x2-mx+m-2的零点有( )
A.2个 B.1个 C.0个 D.都有可能
参考答案:
A
略
6. 若直线始终平分圆的周长,则的最小值为( ).
A. B. 5 C. D. 10
参考答案:
B
分析:由圆的方程得到圆心坐标,代入直线的方程得,再由表达式的几何意义,即可求解答案.
详解:由直线始终平分圆的周长,则直线必过圆的圆心,
由圆的方程可得圆的圆心坐标,
代入直线的方程可得,
又由表示点到直线的距离的平方,
由点到直线的距离公式得,
所以的最小值为,故选B.
7. 将两个数a=10,b=18交换,使a=18,b=10,下面语句正确一组是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 若直线上有两个点在平面外,则( )
A.直线上至少有一个点在平面内 B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外 D.直线上至多有一个点在平面内
参考答案:
D
略
9. 已知集合A=,B=,则A与B的关系是( )
A. A B. C. B D.
参考答案:
C
10. 如果一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图中是边长为的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 半径为2的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为________________.
参考答案:
12. 方程的解是______________.
参考答案:
x=3
略
13. 已知且则的最小值为 .
参考答案:
9
14. 的定义域被分成了四个不同的单调区间,则实数的取值范围是 ▲ .
参考答案:
15. 已知非空集合A={x|﹣1≤x≤a},B={y|y=﹣2x,x∈A},C={y|y=,x∈A},若C?B,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
[﹣1+,+∞)
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【专题】计算题;集合思想;分析法;集合.
【分析】根据条件先求出集合B,C,利用条件C?B,即可求实数a的取值范围.
【解答】解:∵非空集合A={x|﹣1≤x≤a},∴a≥﹣1,
∴B={y|y=﹣2x,x∈A}={y|y=﹣2x,﹣1≤x≤a}={y|﹣2a≤y≤2},
C={y|y=,x∈A}={y|≤y≤1},
∵C?B,
∴,
解得a≥﹣1+
故实数a的取值范围是[﹣1+,+∞),
故答案为:[﹣1+,+∞).
【点评】本题主要考查集合关系的应用,利用集合之间的关系求出集合B,C是解决本题的关键,属于基础题.
16. 用列举法表示集合__________.
参考答案:
【分析】
先将的表示形式求解出来,然后根据范围求出的可取值.
【详解】因为,所以,又因为,所以,此时或,则可得集合:.
【点睛】本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值,难度较易.
17. 函数的定义域为 ;
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. {an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}的前n项和,求Tn.
参考答案:
略
19. 已知是第三象限角,.
(1)化简;
(2)若,求的值;
(3)若,求的值.
参考答案:
(1);(2);(3).
【分析】
(1)利用诱导公式化简即可;
(2)由 可得,结合平方关系可求;
(3)利用诱导公式可求.
【详解】(1) .
(2)∵,
又,∴.
又α是第三象限角,
∴,
∴.
(3)f(α)=f(-1 860°)=cos(-1 860°)=cos 1 860°=cos(5×360°+60°)
=cos 60°=.
20. 某市出租车的计价标准是:4km以内(含4km)10元,超过4km且不超过18km的部分1.2元/km,超过18km的部分1.8元/km,不计等待时间的费用.
(1)如果某人乘车行驶了10km,他要付多少车费?
(2)试建立车费y(元)与行车里程x(km)的函数关系式.
参考答案:
【考点】函数模型的选择与应用.
【专题】应用题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】(1)x=10km,4km<x≤18km,y=10+1.2﹙x﹣4);
(2)利用条件,可得分段函数.
【解答】解:(1)x=10km,4km<x≤18km,y=10+1.2﹙x﹣4)=1.2x+5.2=17.2元;
(2)由题意
0km<x≤4km时,y=10;
4km<x≤18km时,y=10+1.2﹙x﹣4﹚,即y=1.2x+5.2;
x>18km时,y=10+1.2?14+1.8﹙x﹣18﹚即y=1.8x﹣5.6,
所以车费与行车里程的函数关系式为y=.
【点评】本题考查函数模型的建立,考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,属于中档题.
21. 已知函数的定义域是的一切实数,对定义域内的任意都有,且当时,
(1)求证:是偶函数;
(2)在上是增函数;
(3)解不等式.
参考答案:
解:(1)令,得,∴,
令,得,
∴,
∴是偶函数.
(2)设,则
∵,∴,∴,
即,∴
∴在上是增函数.
(3),∴,
∵是偶函数
∴不等式可化为,
又∵函数在上是增函数,
∴,解得:,
即不等式的解集为.
略
22. 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?
(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
参考答案:
【考点】根据实际问题选择函数类型;函数的最值及其几何意义.
【专题】应用题;压轴题.
【分析】(Ⅰ)严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可;
(Ⅱ)从月租金与月收益之间的关系列出目标函数,再利用二次函数求最值的知识,要注意函数定义域优先的原则.作为应用题要注意下好结论.
【解答】解:(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时,
未租出的车辆数为,
所以这时租出了88辆车.
(Ⅱ)设每辆车的月租金定为x元,
则租赁公司的月收益为,
整理得.
所以,当x=4050时,f(x)最大,最大值为f(4050)=307050,
即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307050元.
【点评】本题以实际背景为出发点,既考查了信息的直接应用,又考查了目标函数法求最值.特别是二次函数的知识得到了充分的考查.在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题,非常值得研究.