湖北省荆州市东方中学2023年高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (4分)函数f(x)=lnx﹣的零点所在的区间是()
A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (e,+∞)
参考答案:
B
考点: 函数零点的判定定理.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据函数零点的判断条件,即可得到结论.
解答: ∵f(x)=lnx﹣,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∵f(2)=ln2﹣1<0,f(3)=ln3﹣>0,
∴f(2)f(3)<0,
在区间(2,3)内函数f(x)存在零点,
故选:B
点评: 本题主要考查方程根的存在性,利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键.
2. 已知,则下列不等式一定成立的是( )
A.sin(α+β)<sinα+sinβ B.sin(α+β)>sinα+sinβ
C.cos(α+β)<sinα+sinβ D.cos(α+β)>cosα+cosβ
参考答案:
A
【考点】GI:三角函数的化简求值.
【分析】根据两角和的正弦、余弦公式即可得到结论.
【解答】解:∵已知,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
∴0<cosβ<1,0<cosα<1,
∴sin(α+β)<sinα+sinβ成立,故A正确.
由于sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,0<cosβ<1,0<cosα<1,不能推出它大于sinα+sinβ,
故B不正确.
由于cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ,0<cosβ<1,0<cosα<1,不能推出它小于sinα+sinβ,
故C错误.
由于cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ,0<cosβ<1,0<cosα<1,不能推出它大于sinα+sinβ,
故D错误.
故选:A.
3. 已知集合U={1,3, 5,7,9},A={1,5,7},则A= ( )
A.{1,3} B.{3, 7, 9} C.{3, 5,9} D.{3,9}
参考答案:
D
略
4. 已知数列{an}中,前n项和为Sn,且点在直线上,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
试题分析:点在一次函数上的图象上,,数列为等差数列,其中首项为,公差为,,数列的前项和,,.故选D.
考点:1、等差数列;2、数列求和.
5. 函数的图象与直线的交点个数为( )
(A)3 (B)4 (C)7 (D)8
参考答案:
C
【知识点】数量积的定义
【试题解析】因为由图像可知共7个交点
故答案为:C
6. 已知a=,b=lo,c=log2,则( )
A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c
参考答案:
A
【分析】分别判断a,b,c的取值范围即可得到结论.
【解答】解:a==>1,b=lo∈(0,1),c=log2<0,
∴a>b>c.
故选:A.
7. 下列各式正确的是( )
参考答案:
C
略
8. 函数在区间上的零点之和是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
由结合正切函数的性质求出函数的零点即可得出答案。
【详解】由得,即
所以,即
又因为
所以当时 ,时
函数在区间上的零点之和是
故选B
【点睛】本题主要考查正切函数的性质,属于简单题。
9. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )
A.1 B. C. D.2
参考答案:
C
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】开放型;空间位置关系与距离.
【分析】几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,结合直观图求相关几何量的数据,可得答案
【解答】解:由三视图知:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,
底面为正方形如图:
其中PB⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形
∴PB=1,AB=1,AD=1,
∴BD=,PD==.
PC==
该几何体最长棱的棱长为:
故选:C.
【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题,根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键
10. 若P(2,﹣1)为圆x2+y2﹣2x﹣24=0的弦AB的中点,则直线AB的方程是( )
A.x﹣y﹣3=0 B.2x+y﹣3=0 C.x+y﹣1=0 D.2x﹣y﹣5=0
参考答案:
A
【考点】J9:直线与圆的位置关系.
【分析】求出圆的圆心和半径,由弦的性质可得CP⊥AB,求出CP的斜率,可得AB的斜率,由点斜式求得直线AB的方程.
【解答】解:圆x2+y2﹣2x﹣24=0即(x﹣1)2+y2=25,表示以C(1,0)为圆心,以5为半径的圆.
由于P(2,﹣1)为圆x2+y2﹣2x﹣24=0的弦AB的中点,故有CP⊥AB,
CP的斜率为=﹣1,故AB的斜率为1,由点斜式求得直线AB的方程为y+1=x﹣2,
即 x﹣y﹣3=0,
故选:A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知一个铜质的实心圆锥的底面半径为6,高为3,现将它熔化后铸成一个铜球(不计损耗),则该铜球的半径是 .
参考答案:
3
设铜球的半径为R,则,得R=3,故答案为3.
12. (5分)= .
参考答案:
6
考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算.
专题: 计算题.
分析: 将根式转化为分数指数幂,再由指数的运算法则统一成底数为2和3的指数幂形式,求解即可.
解答: ===6
故答案为:6
点评: 本题考查根式和分数指数幂的关系、指数的运算法则,考查运算能力.
13. 设、、表示不同的直线,,,表示不同的平面,则下列四个命题正确的是
1 若∥,且,则;
2 若∥,且∥,则∥;
3 若,则∥∥;
4 若,且∥,则∥.
参考答案:
①④
14. 在△ABC中,,D是AC上一点,,且,则 .
参考答案:
-4
△ABC中,∵cosC=,cos∠DBC=,
∴sinC=,sin∠DBC=,
∵∠BDC=π﹣C﹣∠DBC,
∴∠BDA=C+∠DBC,
∴cos∠BDA=cos(C+∠DBC )=cosC?cos∠DBC﹣sinC?sin∠DBC
=×﹣=,
∴∠BDA=.
设DC=x,BC=a,
在△BDC中,由正弦定理得,
∴a=,
在△ABC中,AC=3x,BC=,AB=2,
∴cosC==,解得x=1,∴AD=2,CB=,
∴=2??cos(π﹣C)=2?(﹣cosC)=﹣2?=﹣4.
故填-4.
15. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则角C等于_____.
参考答案:
【分析】
根据三角形正弦定理得到结果.
【详解】根据三角形中的正弦定理得到
故答案为:.
【点睛】本题考查了三角形的正弦定理的应用,属于基础题.
16. 若关于x的方程有三个不等的实数解,则实数的值是___________.
参考答案:
1
略
17. 若,则 .
参考答案:
1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,是边长为2的正三角形. 若平面,
平面平面, ,且
(Ⅰ)求证://平面;
(Ⅱ)求证:平面平面。
参考答案:
证明:(1) 取的中点,连接、,
因为,且 ……2分
所以,,. ……3分
又因为平面⊥平面,
所以平面
所以∥, ………4分
又因为平面,平面, ………5分
所以∥平面. …………6分
(2)由(1)已证∥,又,,
所以四边形是平行四边形,
所以∥. ……………8分
由(1)已证,又因为平面⊥平面,
所以平面,
所以平面 .
又平面,所以 . 10分
因为,,
所以平面 .
因为平面,
所以平面⊥平面 . …12分
略
19. 设函数f(x)=ln(2x﹣m)的定义域为集合A,函数g(x)=﹣的定义域为集合B.
(Ⅰ)若B?A,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)若A∩B=?,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】函数的定义域及其求法;交集及其运算.
【分析】(Ⅰ)分别求出集合A、B,根据B?A,求出m的范围即可;
(Ⅱ)根据A∩B=?,得到关于m的不等式,求出m的范围即可.
【解答】解:由题意得:A={x|x>},B={x|1<x≤3},
(Ⅰ)若B?A,则≤1,即m≤2,
故实数m的范围是(﹣∞,2];
(Ⅱ)若A∩B=?,则≥3,
故实数m的范围是[6,+∞).
20. (本小题满分12分)计算:
(1)计算;
(2)已知,求.
参考答案:
(1)原式=;
(2)因为,所以,
又因为,所以,所以.
21. 已知,. (1)求以及的值;(2)当 为何值时,与平行?
参考答案:
解:(1), 3分
; 6分
(2), 8分
当时,, 10分
得. 12分
略
22. 已知函数f(x)满足f()=x+.
(1)求函数的解析式;
(2)判断函数f(x)在区间(,+∞)上的单调性,并用定义法加以证明.
参考答案:
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】(1)利用换元法进行求解即可.
(2)利用函数单调性的定义进行证明即可.
【解答】解:(1)设t=,则x=2t,
即f(t)=2t+,
即f(x)=2(x+),x≠0.
(2)函数在(,1)上为减函数,则(1,+∞)为增函数,
对任意的1<x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=2(x1+﹣x2﹣)=2(x1﹣x2)?,
∵1<x1<x2,
∴x1x2>1,则x1x2﹣1>0,x1﹣x2<0,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴函数在区间(1,+∞)上是单调递增函数.
同理函数在(,1)上为减函数.
【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及函数单调性的证明,利用定义法和换元法是解决本题的关键.