湖北省武汉市黄陂区盘龙开发区第一中学2022年高一数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设是等差数列的前n项之和,且,则下列结论中错误的是( )
A、 B、 C、 D、均为的最大项
参考答案:
C
略
2. 函数的反函数的图像为 ( )
参考答案:
D
3. 在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
参考答案:
A
4. 设函数,则的值为( )
参考答案:
D
解析: ∴
又 ∴
5. 已知函数,则此函数的值域为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
6. 若函数的定义域为,则函数的定义域是
A . B. C. D.
参考答案:
C
7. 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A.29π B.30π C. D.216π
参考答案:
A
【考点】球内接多面体;球的体积和表面积.
【分析】几何体复原为底面是直角三角形,一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥,扩展为长方体,长方体的对角线的长,就是外接球的直径,然后求其的表面积.
【解答】解:由三视图复原几何体,几何体是底面是直角三角形,
一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥;把它扩展为长方体,两者有相同的外接球,
它的对角线的长为球的直径:,球的半径为:.
该三棱锥的外接球的表面积为:,
故选A.
8. 设集合A={1,2,4},B={1,2,3},则A∪B=( )
A.{3,4} B.{1,2} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4}
参考答案:
D
并集由两个集合元素构成,故A∪B={1,2,3,4}.
9. 函数y=ax(a>0且a≠1)与y=-logax(a>0,且a≠1)在同一坐标系中的图象可能是( )
参考答案:
B
10. 已知集合,则A∩B=( )
A. (-3,3) B. [-3,3] C. (0,3] D.[0,3)
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数,同时满足:;,,,求的值.
参考答案:
解析:令得:.
再令,即得.
若,令时,
得不合题意,故;
,
即,所以;
那么,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
12. 如下图,在平面直角坐标系中,一单位圆的圆心的初始位置在,此时圆上一点的位置在,圆在轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于时,的坐标为 .
参考答案:
13. 函数的定义域为
参考答案:
{x|x<1}
略
14. 已知函数f(x)=x2﹣2(a﹣1)x+2在区间(﹣∞,6]上为减函数,则实数a的取值范围为 .
参考答案:
[7,+∞)
【考点】二次函数的性质.
【专题】函数思想;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
【分析】由函数f(x)=x2﹣2(a﹣1)x+2的解析式,根据二次函数的性质,判断出其图象是开口方向朝上,以x=a﹣1为对称轴的抛物线,此时在对称轴左侧的区间为函数的递减区间,由此可构造一个关于a的不等式,解不等式即可得到实数a的取值范围.
【解答】解:函数f(x)=x2﹣2(a﹣1)x+2的图象是开口方向朝上,
以x=a﹣1为对称轴的抛物线,
若函数f(x)=x2﹣2(a﹣1)x+2在区间(﹣∞,6]上是减函数,
则a﹣1≥6,
解得a≥7.
故答案为:[7,+∞).
【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质,及二次函数的性质,其中根据已知中函数的解析式,分析出函数的图象形状,进而分析函数的单调性,是解答此类问题最常用的办法.
15. 已知函数f(x)=,若关于x的函数g(x)=f(x)﹣m有两个零点,则实数m的取值范围是 .
参考答案:
(1,2]
【考点】分段函数的应用;函数零点的判定定理.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】在同一坐标系中画出函数f(x)的同学,画出y=m的图象,通过图象的交点个数确定m的范围.
【解答】解:∵函数f(x)=,
若关于x的函数g(x)=f(x)﹣m有两个零点,
∴函数y=f(x)与y=m的图象有两个交点,如图:
∴实数m的取值范围是:(1,2].
故答案为:(1,2].
【点评】本题考查分段函数的应用,函数的零点的判断,参数范围的求法,考查数形结合以及判断能力.
16. 观察下列数表:
根据以上排列规律,数表中第行中所有数的和为__________。
参考答案:
17. 在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根的概率为 .
参考答案:
【考点】几何概型.
【分析】由一元二次方程根的分布可得p的不等式组,解不等式组,由长度之比可得所求概率.
【解答】解:方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根等价于,
解关于p的不等式组可得<p≤1或p≥2,
∴所求概率P==
故答案为:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)如图,有一块矩形空地,要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知,,且,设,绿地面积为.
(1)写出关于的函数关系式,并指出这个函数的定义域;
(2)当为何值时,绿地面积最大?
参考答案:
(1)由题意可知:,…………2分
, …………3分
所以…………5分
故函数解析式为:…………6分
(2)因为 ……8分
当,即时,则时,取最大值,……9分
当,即时,在上是增函数, 则时,取最大值.
综上所述:当时,时,绿地面积取最大值;
当时,时,绿地面积取最大值. ……12分
19. (本小题满分8分)如图在直三棱柱中,
,点是的中点.
(1)求证:;
(2)求证平面;
参考答案:
证明:(1)在直三棱柱中,平面
面,.
(2)设,连
为中点,
平面平面
平面
略
20. 已知点为角终边上一点,
(Ⅰ)求及的值;
(Ⅱ)求的值。
参考答案:
解:(Ⅰ)
6分
(Ⅱ)点为角终边上一点
12分
略
21. 已知是第三象限的角,
(1)化简
(2)若利用三角函数的定义求的值
参考答案:
(1) (2)
略
22. 已知数列{an+1﹣2an}(n∈N*)是公比为2的等比数列,其中a1=1,a2=4.
(Ⅰ)证明:数列是等差数列;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn;
( III)记数列,证明:.
参考答案:
【考点】8K:数列与不等式的综合;8E:数列的求和.
【分析】(Ⅰ)通过等比数列的通项公式可知an+1﹣2an=2n,两端同除2n+1即得结论;
(Ⅱ)利用错位相减法计算即得结论,
(Ⅲ)利用放缩法即可证明.
【解答】解:(Ⅰ)证明:由已知得,
两端同除2n+1得:,
所以数列是以首项为,公差为的等差数列;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以,
,
则2Sn=1?21+2?22+…+n?2n,
相减得:,
所以,
即.
(Ⅲ)证明:数列cn=2n﹣2,n≥2,
∴,
∴
又∵,(n≥3),
当n=2时,,
∴<==1﹣()n﹣1,
所以原不等式得证.