湖北省荆州市江陵县川店镇中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知角的终边过点,则( )
参考答案:
D
略
2. 如图是导函数的图像,则下列命题错误的是
A.导函数在处有极小值
B.导函数在处有极大值
C.函数处有极小值
D.函数处有极小值
参考答案:
C
略
3. 若,则( )
A. B.C. D.
参考答案:
D
4. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=ex(x+1),给出下列命题:
①当x>0时,f(x)=ex(1﹣x);
②f(x)>0的解集为(﹣1,0)∪(1,+∞);
③函数f(x)有2个零点;
④x1,x2∈R,都有|f(x1)﹣f(x2)|<2,
其中正确命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
参考答案:
考点: 命题的真假判断与应用;奇偶性与单调性的综合.
分析: 逐个验证:①为函数对称区间的解析式的求解;②为不等式的求解,分段来解,然后去并集即可;③涉及函数的零点,分段来解即可,注意原点;④实际上是求函数的取值范围,综合利用导数和极值以及特殊点,画出函数的图象可得范围.
解答: 解:设x>0,则﹣x<0,故f(﹣x)=e﹣x(﹣x+1),又f(x)是定义在R上的奇函数,故f(﹣x)=﹣f(x)=e﹣x(﹣x+1),所以f(x)=e﹣x(x﹣1),故①错误;
因为当x<0时,由f(x)=ex(x+1)>0,解得﹣1<x<0,当x>0时,由f(x)=e﹣x(x﹣1)>0,解得x>1,故f(x)>0的解集为(﹣1,0)∪(1,+∞),故②正确;
令ex(x+1)=0可解得x=﹣1,当e﹣x(x﹣1)=0时,可解得x=1,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,故有f(0)=0,故函数的零点由3个,故③错误;
④x1,x2∈R,都有|f(x1)﹣f(x2)|<2,正确,因为当x>0时f(x)=e﹣x(x﹣1),图象过点(1,0),又f′(x)=e﹣x(2﹣x),
可知当0<x<2时,f′(x)>0,当x>2时,,f′(x)<0,故函数在x=2处取到极大值f(2)=,且当x趋向于0时,函数值趋向于﹣1,当x趋向于+∞时,函数值趋向于0,
由奇函数的图象关于原点对称可作出函数f(x)的图象,
可得函数﹣1<f(x)<1,故有|f(x1)﹣f(x2)|<2成立.
综上可得正确的命题为②④,
故选B
点评: 本题考查命题真假的判断,涉及函数性质的综合应用,属中档题.
5. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( )
A.若,,,则 B.若,,,则
C.若,,,则 D.若,,,则
参考答案:
D
6. 在等差数列 中,若“ ,则
A. B. C.1 D. -1
参考答案:
A
略
7. 已知随机变量,若,则
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点:正态分布
由题知:
故答案为:C
8. 已知是圆的直径,点为直线上任意一点,则的最小值是( )
A.1 B.0 C. D.
参考答案:
A
9. 已知集合,,若,则实数m的取值范围是( )
A. (-∞,-1) B. (-1,0) C. [-1,0) D. (-∞,0)
参考答案:
B
【分析】
根据二次函数的图象,可知,可求的取值范围.
【详解】若满足,
则需满足 ,
解得:.
故选:B
【点睛】本题考查二次函数的图象和不等式的关系,意在考查转化与化归和计算能力,属于基础题型.
10. 某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是( )
. . . .
参考答案:
A
由三视图知,原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为2,正四棱锥的底面边长为正方体的上底面,高为1.
∴原几何体的体积为,选A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 掷两颗骰子得两数,则事件“两数之和大于4”的概率为__
参考答案:
略
12. 在各项均为正数的等比数列中,,则的值是 ▲ .
参考答案:
13. 在等差数列中,,其前项和为,
若,则 的值等于 .
参考答案:
-2013
略
14. 直线l的参数方程是(其中t为参数),若原点O为极点,x正半轴为极轴,圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+),过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是 .
参考答案:
2
考点:直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程.
专题:直线与圆.
分析:将圆的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离,要使切线长最小,必须直线l上的点到圆心的距离最小,此最小值即为圆心到直线的距离d,求出d,由勾股定理可求切线长的最小值.
解答: 解:∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+),
∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ,
∴x2+y2=x﹣y,即(x﹣)2+(y+)2=1,
∴圆C是以M(,﹣)为圆心,1为半径的圆…2分
化直线l的参数方程 (t为参数)为普通方程:x﹣y+4=0,…4分
∵圆心M(,﹣)到直线l的距离为d==5,…6分
要使切线长最小,必须直线l上的点到圆心的距离最小,此最小值即为圆心M(,﹣)到直线的距离d,
由勾股定理求得切线长的最小值为 ==2.
故答案为:2.
点评:本题考查圆的极坐标方程,直线的参数方程、直线与圆的位置关系,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题.
15. (4分)四面体的顶点和各棱中点共有10个点,取其中不共面的4点,不同的取法共有 种.
参考答案:
141
考点:排列、组合及简单计数问题.
专题:计算题.
分析:由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法,减去不合题意的结果,4点共面的情况有三类,取出的4个点位于四面体的同一个面上;取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点;由中位线构成的平行四边形,用所有的结果减去补合题意的结果.
解答:解:从10个点中任取4个点有C104种取法,
其中4点共面的情况有三类.
第一类,取出的4个点位于四面体的同一个面上,有4C64种;
第二类,取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点,这4点共面,有6种;
第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱),
它的4顶点共面,有3种.
以上三类情况不合要求应减掉,
∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种.
故答案为 141.
点评: 本题考查分类计数原理,考查排列组合的实际应用,是一个排列组合同立体几何结合的题目,解题时注意做到不重不漏.
16. 已知椭圆的面积计算公式是,则_____;
参考答案:
略
17. 若曲线存在垂直于轴的切线,则实数的取值范围是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为.若就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.
(I)求小波参加学校合唱团的概率;
(II)求的分布列和数学期望.
参考答案:
略
19. 在直角坐标系xoy中,直线I的参数方程为 (t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=cos(θ+).
(1)求直线I被曲线C所截得的弦长;
(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.
参考答案:
略
20. 已知函数,其中a为常数.
(1)若直线是曲线的一条切线,求实数a的值;
(2)当时,若函数在[1,+∞)上有两个零点.求实数b的取值范围.
参考答案:
(1) (2)
【分析】
(1)设切点, 由题意得,解方程组即可得结果;(2)函数在上有两个零点等价于,函数 的图象与直线有两个交点,设,利用导数可得函数在处取得极大值,结合,,从而可得结果.
【详解】(1)函数的定义域为,,
曲线在点处的切线方程为.
由题意得
解得,.所以的值为1.
(2)当时,,则,
由,得,由,得,则有最小值为,即,
所以,,
由已知可得函数 的图象与直线有两个交点,
设,
则,
令,,
由,可知,所以在上为减函数,
由,得时,,当时,,
即当时,,当时,,
则函数在上为增函数,在上为减函数,
所以,函数在处取得极大值,
又,,
所以,当函数在上有两个零点时,的取值范围是,
即.
【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的零点,属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率,主要体现在以下几个方面:(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数;(2) 己知斜率求切点即解方程;(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
21. 已知函数的最小正周期为.
(1)求的单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c满足,求函数的取值范围.
参考答案:
解:(1) …………2分
∵ …………4分
∴的单调递增区间为 …………6分
(2)∵
∴ …………8分
……10分
∵
∴ …………12分
略
22. (本题满分13分)
已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 若b =2,且,求边长a的取值范围.
参考答案:
解:(1) 由正弦定理得 ………………2分
即,
化简可得 ………4分
又,所以
因此 ………………6分
(2)由(1)得,可得 ① ………8分
由角B为最小角可得,即 ② ………………10分
由余弦定理得,把①代入可得
………………12分
代入②式,解得 ………………14分