湖北省荆州市五三中学2023年高三数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数(其中)的图象如图所示,为了得到的图象,则只需将的图象
A.向右平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向左平移个长度单位
参考答案:
C
2. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)=f(2﹣x),当x∈[3,4]时,f(x)=x﹣2,则( )
A.f(1)>f(0) B.f(1)>f(4) C. D.
参考答案:
C
【考点】抽象函数及其应用.
【专题】计算题;数形结合;函数思想;函数的性质及应用.
【分析】利用函数的周期性以及函数的奇偶性,结合函数的解析式求解即可.
【解答】解:定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)=f(2﹣x),函数的周期为2,关于x=2对称,
当x∈[3,4]时,f(x)=x﹣2,
f(1)=f(3)=3﹣2=1,
=f()=f()=f()=,
f(0)=f(2)=f(4)=2.
∴.
故选:C.
【点评】本题考查抽象函数的应用,函数值的求法,函数的奇偶性的应用,考查计算能力.
3. 已知平面直角坐标系内的两个向量=(1,2),=(m,3m-2),且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=λ+μ(λ,μ是实数),则m的取值范围是( )
A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(-∞,+∞)
参考答案:
C
略
4. 设为三条不同的直线,为两个不同的平面,则下面结论正确的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. ,则
参考答案:
C
【分析】
根据线线、线面、面面位置关系,对选项逐一分析,由此确定结论正确的选项.
【详解】A选项中,可能异面;B选项中,也可能平行或相交;D选项中,只有相交才可推出.C选项可以理解为两个相互垂直的平面,它们的法向量相互垂直.
故选:C
【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断,属于基础题.
5. 双曲线的实轴长是( )
A.2 B.2 C.4 D.4
参考答案:
C
略
6. 已知函数是偶函数,当时,,则曲线在点处的切线斜率为( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
参考答案:
B
当时,,则
函数是偶函数,
知识点:偶函数的性质,导数的运算 难度:1
7. 某品牌空调在元旦期间举行促销活动,所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况(单位:台),则销售量的中位数是( )
A.13 B.14 C.15 D.16
参考答案:
C
考点: 茎叶图.
专题: 概率与统计.
分析: 把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列,求出中位数即可.
解答: 解:根据茎叶图中的数据,把这组数据按照从小到大的顺序排列为
5,8,10,14,16,16,20,23;
∴这组数据的中位数是=15.
故选:C.
点评: 本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数的应用问题,是基础题目
8. 若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命题称为“可换命题”。下列四个命题,其中是“可换命题”的是( )
①垂直于同一平面的两直线平行; ②垂直于同一平面的两平面平行;
③平行于同一直线的两直线平行; ④平行于同一平面的两直线平行.
A.①② B.①④ C.①③ D.③④
参考答案:
C
9. 集合A={x|﹣2≤x≤3},B={x|x<﹣1},则A∩(?RB)等于( )
A.{x|x>﹣1} B.{x|x≥﹣1} C.{x|﹣2≤x≤﹣1} D.{x|﹣1≤x≤3}
参考答案:
D
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】直接利用交、并、补集的混合运算得答案.
【解答】解:∵B={x|x<﹣1},∴?RB={x|x≥﹣1},
又A={x|﹣2≤x≤3},
∴A∩(?RB)={x|﹣1≤x≤3}.
故选:D.
10. 复数(i是虚数单位)的虚部是( )
A.i B.1 C.﹣i D.﹣1
参考答案:
B
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:∵ =,
∴复数的虚部是1.
故选:B.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若,,,,
则 .
参考答案:
∵,可得,①
∴两边平方可得,,解得:,
∵,可得:,②
∴由①②解得:,
又∵,可得:,
两边平方,可得:,,
∴.
故答案为.
12. 函数f(x)=的定义域为______________.
参考答案:
略
13. 若全集,函数的值域为集合,则 .
参考答案:
14. 对于三次函数(),定义:设是函数y=f(x)的导数y=的导数,若方程=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心;且‘拐点’就是对称中心.”
请你将这一发现为条件,函数,则它的对称中心为 ;
计算= .
参考答案:
; 2012
15.
如图所示,二面角的大小为,点A在平面内, 的面积为,且,过A点的直线交平面于B,,且AB与平面所成的角为30°,则当________时,的面积取得最大值为_________。
参考答案:
答案:
16. 正六边形ABCDEF的对角线AC和CE分别被内点M和N分割,且有.如果B、M、N共线,则r的值为 .
参考答案:
【考点】NC:与圆有关的比例线段.
【分析】根据正六边形的特点建立坐标系,不妨设边AB=1,求出A、B、C、E的坐标,设M的坐标,由条件和向量相等列出方程,求出M的坐标,同理求出点N的坐标,求向量的坐标运算求出、的坐标,将B,M,N三点共线转化为∥,由共线向量的坐标条件列出方程,求出r的值.
【解答】解:建立如图坐标系,不妨设正六边形ABCDEF的边AB=1,
则A(0,0),B(1,0),C(,),
E(0,),
设M的坐标为(x,y),
∵,∴(x,y)=r(,),
则x=r,y=r,即M(r, r),
同理可求,N的坐标是((1﹣r),(1+r)),
∴=(r﹣1, r),=(﹣r,(1+r)),
∵B,M,N三点共线,
∴∥,则(r﹣1)×(1+r)﹣r×(﹣r)=0,
化简得,3r2=1,解得r=,
故答案为:.
17. 已知函数在处取得极值,若,则的最小值是________.
参考答案:
-13
试题分析:令导函数当x=2时为0,列出方程求出a值;求出二次函数的最小值,利用导数求出f(m)的最小值,它们的和即为的最小值.
求导数可得,∵函数在x=2处取得极值,
∴-12+4a=0,解得a=3,∴,
∴n∈ 时,,当n=-1时,最小,最小为-9,
当m∈时,
令得m=0,m=2,
所以m=0时,f(m)最小为-4,
故的最小值为-9+(-4)=-13.
故答案为:-13.
考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;函数在某点取得极值的条件.
【方法点睛】利用导数性质研究函数的最值问题属于平时练习和考试的常见题目,解决问题的方法主要是分类讨论,结合导函数的有关性质进行求解,涉及题型比较丰富,有一定难度.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知P是圆C:x2+y2=4上的动点,P在x轴上的射影为P′,点M满足=,当P在圆C上运动时,点M的轨迹为曲线E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)经过点A(0,2)的直线l与曲线E相交于点C,D,并且=,求直线l的方程.
参考答案:
【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.
【分析】(I)设M(x,y),则P(x,2y)在圆C:x2+y2=4上,由此能求出曲线E的方程.
(II)设直线l:y=kx+2,联立,得(1+4k2)x2+16kx+12=0,由此利用根的判别式、韦达定理、向量,结合已知条件能求出直线l的方程.
【解答】解:(I)设M(x,y),
∵P是圆C:x2+y2=4上的动点,P在x轴上的射影为P′,
点M满足=,当P在圆C上运动时,点M的轨迹为曲线E.
∴P(x,2y)在圆C:x2+y2=4上,
∴x2+4y2=4,
即曲线E的方程为: =1,…(4分)
(II)经检验,当直线l⊥x轴时,题目条件不成立,
∴直线l存在斜率.设直线l:y=kx+2.
设C(x1,y1),D(x2,y2),则,
∴(1+4k2)x2+16kx+12=0.…(6分)
由△=(16k)2﹣4(1+4k2)﹣12>0,得k2>.
,….①,,…②.…(8分)
又由=,得,
将它代入①,②得k2=1,k=±1(满足k2>).
所以直线l的斜率为k=±1.
所以直线l的方程为y=±x+2.…(12分)
【点评】本题考查曲线方程、直线方程的求法,考查椭圆、射影、圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,是中档题.
19. 已知AB为半圆O的直径,AB=4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过点A作AD⊥CD于D,交半圆于点E,DE=1.
(Ⅰ)求证:AC平分∠BAD;
(Ⅱ)求BC的长.
参考答案:
【考点】圆的切线的性质定理的证明;圆內接多边形的性质与判定.
【专题】综合题.
【分析】(Ⅰ)连接OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA,再证明OC∥AD,即可证得AC平分∠BAD.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,从而BC=CE,利用ABCE四点共圆,可得∠B=∠CED,从而有,故可求BC的长.
【解答】(Ⅰ)证明:连接OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA,
因为CD为半圆的切线,所以OC⊥CD,
又因为AD⊥CD,所以OC∥AD,
所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD,所以AC平分∠BAD.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,∴BC=CE,
连接CE,因为ABCE四点共圆,∠B=∠CED,所以cosB=cos∠CED,
所以,所以BC=2.
【点评】本题考查圆的切线,考查圆内接四边形,解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质.
20. (本小题满分15分)如图,过抛物线()焦点的直线与交于,两点,直线交抛物线于,两点,点,在直线的同侧.已知,四边形的面积为.
求的值;
求直线的方程.
参考答案:
21. (本小题满分12分)梯形中,,,,如图①;现将其沿折成如图②的几何体,使得.
(Ⅰ)求直线与平面所成角的大小;(Ⅱ)求二面角的余弦值.
参考答案:
解:(Ⅰ)由题意,,
.在中,∵,∴,
∴两两垂直,分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图).
设平面的法向量为,,,
,取
设直线与平面成的角为,
则
直线与平面成的角为
(Ⅱ)设平面的法向量为,
令