湖北省荆州市松滋华元中英文学校2022年高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. “”是 “函数有零点”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
A
2. 命题“对任意的,都有”的否定为
A. 存在,使
B. 对任意的,都有
C. 存在,使
D. 存在,使
参考答案:
C
3. 数学测验中,某小组14名学生分别与全班的平均分85分的差是:2,3,-3,-5,12,12,8,2,-1,4,-10,-2,5,5,这个小组的平均分是( )
A.97.2 B.87.29
C.92.32 D.82.86
参考答案:
B
略
4. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 如果等差数列中a3=8,则S5=( )
A.20 B.30 C.40 D.16
参考答案:
C
【考点】等差数列的前n项和.
【专题】转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列.
【分析】利用等差数列的性质可得:S5==5a3,即可得出.
【解答】解:∵等差数列中a3=8,
则S5==5a3=40,
故选:C.
【点评】本题考查了等差数列的性质及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
6. 如图,、是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形,则双曲线的离心率为( )
A.4 B. C. D.
参考答案:
B
7. 直线x﹣y+3=0被圆(x+2)2+(y﹣2)2=2截得的弦长等于( )
A. B. C.2 D.
参考答案:
D
【考点】直线和圆的方程的应用.
【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD,然后根据垂径定理得到垂足为弦长的中点D,根据勾股定理求出弦长的一半BD,乘以2即可求出弦长AB.
【解答】解:连接OB,过O作OD⊥AB,根据垂径定理得:D为AB的中点,
根据(x+2)2+(y﹣2)2=2得到圆心坐标为(﹣2,2),半径为.
圆心O到直线AB的距离OD==,而半径OB=,
则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==,所以AB=2BD=
故选D.
【点评】考查学生灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题,以及理解直线和圆相交所截取的弦的一半、圆的半径、弦心距构成直角三角形.灵活运用垂径定理解决数学问题.
8. 下列命题中:
(1)、平行于同一直线的两个平面平行;(2)、平行于同一平面的两个平面平行;
(3)、垂直于同一直线的两直线平行; (4)、垂直于同一平面的两直线平行.
正确的是( )
A、(1)(2) B、(2)(4) C、(2)(3) D、(3)(4)
参考答案:
B
9. 已知 表示把M中的元素x映射集合N中仍为x,则等于( )
A. 0 B.1 C. -1 D.1
参考答案:
B
10. 抛物线上一点M到焦点的距离为,则点M到轴的距离为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 把一枚硬币任意抛掷三次,事件A=“至少一次出现反面”,事件B=“恰有一次出现正面”,求P(B|A)=
参考答案:
12. 在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是________。
参考答案:
(0,-1,0)
略
13. 已知函数,有三个不同的零点,则实数a的取值范围是__________.
参考答案:
【分析】
由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点,抛物线部分与x轴有两个交点,由函数图象的平移和二次函数的顶点可得关于a的不等式,解之可得答案.
【详解】由题意可知:函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分,
函数图象的右半部分为开口向上的抛物线,对称轴为x=,最多两个零点,
如上图,要满足题意,必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交,
由指数函数过点(0,1),故需下移至多1个单位,故0<a≤1,
还需保证抛物线与x轴由两个交点,故最低点<0,
解得a<0或a>,综合可得<a≤1,
故答案为:<a≤1
【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
14. 双曲线的焦距为 _________________ .
参考答案:
16
15. 若点O和点F(-2,0)分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为_________.
参考答案:
16. 如果对任意实数恒成立,则的取值范围是 .
参考答案:
17. 数列,若,则___________. w
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某酱油厂对新品种酱油进行了定价,在各超市得到售价与销售量的数据如下表:
单价x(元)
5
5.2
5.4
5.6
5.8
6
销量y(瓶)
9.0
8.4
8.3
8.0
7.5
6.8
(1)求售价与销售量的回归直线方程;( ,)
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/瓶,为使工厂获得最大利润(利润=销售收入成本),该产品的单价应定为多少元?
相关公式:,.
参考答案:
(1).(2)6.75元
【分析】
(1)根据回归直线方程计算公式,计算出回归直线方程.(2)求得利润的表达式,利用二次函数的性质,求得为使工厂获得最大利润(利润=销售收入成本),该产品的单价.
【详解】解:(1)因为,,
所以,,
从而回归直线方程为.
(2)设工厂获得的利润为元,
依题意得
当时,取得最大值
故当单价定为6.75元时,工厂可获得最大利润.
【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算,考查实际应用问题,考查运算求解能力,属于中档题.
19. 某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况共进行了n=1 700次观测,列联表如下:
Y
X
有震
无震
合计
水位有变化
100
900
1 000
水位无变化
80
620
7 00
合计
180
1520
1700
问观测结果是否说明地下水位的变化与地震的发生相关?
P(X2≥x0)
0.15
0.1
0.05
x0
2.072
2.706
3.841
参考答案:
【考点】独立性检验的应用.
【分析】计算X2,对照数表即可得出结论.
【解答】解:由题意,X2=≈0.887<2.072,
∴观测结果不能说明地下水位的变化与地震的发生相关.
20. 已知数列{an}满足,.
(1)求,,的值;
(2)归纳猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.
参考答案:
(1)(2)
试题分析:
(1)利用递推关系可求得;
(2) 猜想 ,按照数学归纳法的过程证明猜想即可.
试题解析:
解:(1)计算得
猜想
证明如下:①当n=1时,猜想显然成立;
②假设当n=k(k∈N+)时猜想成立,即成立,
则当时,,
即时猜想成立
由①②得对任意,有
21. 已知函数.
(1)解不等式;
(2)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数m的取值范围;
(3)若函数,其中为奇函数,为偶函数,若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)原不等式即为,设t=2x,则不等式化为t﹣t2>16﹣9t,
即t2﹣10t+16<0,解得,即,∴1<x<3,∴原不等式的解集为.…………4分
(2)函数在上有零点,∴在上有解,即在有解.
设,∵,∴,
∴.∵在有解,∴,故实数的取值范围为.…………8分
(3)由题意得,解得.
由题意得,
即
对任意恒成立,令,,则.
则得对任意的恒成立,
∴对任意的恒成立,
∵在上单调递减,∴.
∴,∴实数的取值范围.…………12分
22. (本小题满分13分)如右图所示,抛物线与轴所围成的区域是一块等待开垦的土地,现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地,其中A、B在抛物线上,C、D在轴上.已知工业用地每单位面积价值为元,其它的三个边角地块每单位面积价值元.
(Ⅰ)求等待开垦土地的面积;
(Ⅱ)如何确定点C的位置,才能使得整块土地总价值最大.
参考答案:
(Ⅰ)由,
故等待开垦土地的面积为 ………3分
(Ⅱ)设点C的坐标为,则点B其中,
∴ ……………………………………5分
∴土地总价值
= ………………………………………………7分
由得 ……………………9分
并且当时,
故当时,y取得最大值. ……………………………………12分
答:当点C的坐标为时,整个地块的总价值最大. ……………13分