湖北省武汉市长虹中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 双曲线的一条渐近线被圆 所截得的弦长等于，则该双曲线的离心率等于
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
B
2.
设实数，，，则三数由小到大排列是
参考答案：
3. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填
A． B. C. D.
参考答案：
D
略
4. 有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”，运算符号紧跟在运算对象的后面，按照从左到右的顺序运算，如表达式，其运算为，，，— ,，
参考答案：
略
5. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣15
参考答案：
C
分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环判断i是否为奇数求出S的值，并输出最后的S值．
解答： 解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：
是否继续循环 i S
循环前 1 0
第一圈 是 2﹣1
第二圈 是 3 3
第三圈 是 4﹣6
第四圈 是 5 10
第五圈 否
故最后输出的S值为10
故选C．
点评： 根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是从流程图中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据，选择恰当的数学模型解答．
6. 已知展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是
（ ）
A．28 B．38 C．1或38 D．1或28
参考答案：
答案：C
7. 已知为第二象限角，，则
（A） （B） （C） （D）
参考答案：
A
8. 设，则“”是“”的____________.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
9. 已知点,直线与,且将△分割为面积相等的两部分,则的取值范围是
A． B． C. D.
参考答案：
A
10. 已知函数若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （选修：坐标系与参数方程）
在直角坐标系中，曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则两曲线交点间的距离是 .
参考答案：
12. 已知向量满足：，且，则向量与的夹角是 _____________.
参考答案：
13. 如图，直线，垂足为O，已知中，为直角，AB=2，BC=1，该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1），（2）.则C、O两点间的最大距离为 .
参考答案：
略
14. 已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_____________.
参考答案：
略
15. 已知等比数列，则＝ ．
参考答案：
16. 在的展开式中，含项的系数为__________．
参考答案：
60
试题分析：由题意得，的展开式中的项为，所以项的系数为．
考点：二项式定理的应用．
17. 已知集合，则 ▲ ．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
已知函数（为常数）．
（Ⅰ）若函数在处的切线方程为，求；
（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．
参考答案：
(Ⅰ) ；(Ⅱ) .
（2）当时，令，得或．
①当，即时，函数在上为增函数，在上为减函数，
所以函数在上的最大值为，
由，得；
②当，即时，函数在上为增函数，在上为减函数，
所以函数在上的最大值为，
考点：导数的知识与分类整合思想的运用．
【易错点晴】本题考查的是导数在研究函数的单调性和最值方面的运用的问题,这类问题的设置重在考查导数的工具作用.解答这类问题是,一要依据导数的几何意义,导函数在切点处的导函数值就切线的斜率;再一个就是切点既在切线上也在曲线上,这两点是解决曲线的切线这类问题所必须掌握的基本思路.本题的第二问设置的是不等式恒成立的前提下求参数的取值范围问题,求解时先将不等式进行转化,再构造函数,然后通过运用导数对函数最值的分类研究,最后求出参数的取值范围.
19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC⊥平面ABCD，PB⊥PD．
（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；
（2）若， E为棱CD的中点，，BC=2，求四面体A-PED的体积．
参考答案：
（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.
∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，
∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.
∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.
∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.
（Ⅱ）取BC的中点O，连接OP、OE.
∵平面，∴，∴，
∵，∴．
∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，PO平面PBC，
∴PO⊥平面ABCD，∵AE平面ABCD,∴PO⊥AE.∵∠PEA=90O, ∴PE⊥AE.
∵PO∩PE=P，∴AE⊥平面POE，∴AE⊥OE.
∵∠C=∠D=90O, ∴∠OEC=∠EAD,
∴，∴．
∵，，，∴，
．
20. 已知从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点．又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在椭圆C中，求以点为中点的弦MN所在的直线方程．
参考答案：
（Ⅰ）由题意知：，
故，即，解得，………………………………2分
又，
解得，………………………………………………………………5分
故椭圆C的方程为；………………………………………………………6分
（Ⅱ）因为点在椭圆内，且显然直线MN的斜率存在，………………………8分
故设直线MN的方程为，
代入椭圆方程得…………………………10分
故，解得，……………………………………………13分
故直线MN的方程为……………………………………………………………15分
（注意：用“点差法”计算同样给分）
21. 某高校共有10000人，其中男生7500人，女生2500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集200位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．调查部分结果如下2×2列联表：
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
35
每周平均体育运动时间超过4小时
30
总计
200
（1）完成上述每周平均体育运动时间与性别的2×2列联表，并判新是否有95%把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”；
（2）已知在被调查的男生中，有5名数学系的学生，其中有2名学生每周平均体育运动时间超过4小时，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰有1人“每周平均体育运动时间超过4小时”的概率．
附．，其中．
P（）
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
参考答案：
(1)见解析；(2)
【分析】
（1）根据题目中的数据填写列联表，计算观测值，并由临界值表比较可得结论；（2）由列举法以及古典概型概率公式可得答案.
【详解】（1）收集女生人数为，男生人数为，即应收集50为女生，150位男生的样本数据，
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
35
20
55
每周平均体育运动时间超过4小时
115
30
145
总计
150
50
200
∴，
所以有把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”
（2）设ai表示每周平均体育运动时间超过4小时的学生，i=1，2，
bj表示每周平均体育运动时间不超过4小时的学生，j=1，2，3，
从5名数学系学生任取2人的可能结果构成基本事件，
，共10个基本事件组成，且这些基本事件是等可能的，设A表示“2人中恰有一人每周平均体育运动时间超过4小时”，
则，
A由6个基本事件组成，由古典概型概率公式得，．
【点睛】本题考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键,对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，用满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.
22. （本小题满分10分）选修4.4坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位
已知直线 的参数方程为 （t为参数，），曲线C的极坐标方程为
(1)求曲线C的直角坐标方程。
(2)设直线 与曲线C相交于A，B两点，当变化时，求 的最小值
参考答案：
(I)由,得
所以曲线C的直角坐标方程为…………………………（4分）
(II)将直线l的参数方程代入,得
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则 t1+t2=,t1t2=,
∴|AB|=|t1-t2|==,
当时,|AB|的最小值为4 …………………………（10分）