湖北省武汉市经济技术开发区第一中学(高中部)高二数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知a∈{﹣2,0,1,3,4},b∈{1,2},则函数f(x)=(a2﹣2)x+b为增函数的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】几何概型.
【专题】概率与统计.
【分析】首先求出所以事件个数就是集合元素个数5,然后求出满足使函数为增函数的元素个数为3,利用公式可得.
【解答】解:从集合{﹣2,0,1,3,4}中任选一个数有5种选法,使函数f(x)=(a2﹣2)x+b为增函数的是a2﹣2>0解得a>或者a<,所以满足此条件的a有﹣2,3,4共有3个,由古典概型公式得函数f(x)=(a2﹣2)x+b为增函数的概率是;
故选:B.
【点评】本题考查了古典概型的概率求法;关键是明确所有事件的个数以及满足条件的事件公式,利用公式解答.
2. 若圆x2+y2﹣6x+6y+14=0关于直线l:ax+4y﹣6=0对称,则直线l的斜率是( )
A.6 B. C. ﹣D.﹣
参考答案:
D
【考点】关于点、直线对称的圆的方程.
【分析】由题意可知直线通过圆的圆心,求出圆心坐标代入直线方程,即可得到a的值,然后求出直线的斜率.
【解答】解:圆x2+y2﹣6x+6y+14=0关于直线l:ax+4y﹣6=0对称,则直线通过圆心(3,﹣3),
故,
故选D
【点评】本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,考查对称知识、计算能力.
3. 下列函数中,既是奇函数又具有零点的是
A. B.
C. D.
参考答案:
B
4. 若不等式>在上有解,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
5. 下列命题中的假命题是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
6. 已知 且,则
A.有最大值2 B.等于4 C.有最小值3 D.有最大值4
参考答案:
D
略
7. 设全集,,则右图中阴影部分表示的集合为 ( ▲ )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
8. 已知集合,,那么集合 等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 已知a为函数的极小值点,则a=( )
A.-4 B.-2 C.4 D.2
参考答案:
D
因为,令,,当时,单调递增;当时,单调递减;当时,单调递增.所以.故选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 双曲线的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线上,若P F1⊥P F2,则点P到 轴的距离为_____________.
参考答案:
12. 复数z=,则= ;
参考答案:
13. 非空集合G关于运算满足:①对于任意a、bG,都有abG;②存在,使对一切都有a=a=a,则称G关于运算为融洽集,现有下列集合运算:
⑴G={非负整数},为整数的加法 ⑵G={偶数},为整数的乘法
⑶G={平面向量},为平面向量的加法 ⑷G={二次三项式},为多项式的加法
其中关于运算的融洽集有____________
参考答案:
⑴⑵⑶
略
14. 已知,则中共有 项.
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
15. 已知命题的必要而不充分条件,则实数a的取值范围是 ▲ .
参考答案:
若是的必要不充分条件,则集合是集合的子集,
据此可得:实数的取值范围是.
16. 连掷两次骰子分别得到的点数为m和n,记向量与向量的夹角为,则的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
17. 已知等差数列,,则 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知在的展开式中,第6项为常数项.
(1)求; (2)求含项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
参考答案:
(1)=
当时, 所以 (5分)
(2)时, 所以含项的系数为 (9分)
(3)时, 展开式中的有理项分别为(14分)
略
19. 已知锐角△ABC三个内角为A,B,C,向量p=(cosA+sinA,2-2sinA),向量q=(cosA-sinA,1+sinA),且p⊥q.
(1)求角A;
(2)设AC=,sin2A+sin2B=sin2C,求△ABC的面积.
参考答案:
(1)∵p⊥q,
∴(cosA+sinA)(cosA-sinA)+(2-2sinA)(1+sinA)=0,
∴sin2A=.而A为锐角,所以sinA=?A=.
(2)由正弦定理得a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形,且∠C=.
∴BC=AC×tan=×=3.
∴S△ABC=AC·BC=××3=.
20. 等差数列中,
(1)求数列的通项公式,
(2)若数列的前项和,求.
参考答案:
解:(1)设等差数列的公差为,
=
(2)
又
略
21. 已知函数f(x)=a(x2﹣1)﹣lnx.
(1)若y=f(x)在x=2处的切线与y垂直,求a的值;
(2)若f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
参考答案:
(1);(2) .
【分析】
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),令f'(2)=0,解得a;
(2),对a分类讨论,利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.
【详解】(1)∵f(x)的定义域为(0,+∞),,
∴f'(2)=0,即.
(2)∵,
①当a≤0时,f'(x)<0,∴f(x)在[1,+∞)上单调递减,
∴当x>1时,f(x)<f(1)=0矛盾.
②当a>0时,,
令f'(x)>0,得;f'(x)<0,得.
(i)当,即时,时,f'(x)<0,即f(x)递减,
∴f(x)<f(1)=0矛盾.
(ii)当,即时,x∈[1,+∞)时,f'(x)>0,即f(x)递增,
∴f(x)≥f(1)=0满足题意.
综上:.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线斜率,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题.
22. ①用辗转相除法或更相减损术求228与1995的最大公约数
②将104转化为三进制数.
参考答案:
【考点】进位制;用辗转相除计算最大公约数.
【专题】计算题;转化思想;算法和程序框图.
【分析】①用较大的数字除以较小的数字,得到商和余数,然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的,以此类推,当整除时,就得到要求的最大公约数.
②根据十进制数化成三进制数的方法,首先用十进制的数104除以3得到商和余数;然后再用得到的商除以3,得到新的商和余数,…一直计算到商为0,最后把余数从下往上排序,把104化成三进制数即可.
【解答】解:①辗转相除法:∵1995÷228=8…171
228÷171=1…57
171÷57=3
∴228与1995的最大公约数是57.
②104÷3=34…2
34÷3=11…1
11÷3=3…2
3÷3=1…0
1÷3=0…1
故102(10)=10212(3).
【点评】本题主要考查了辗转相除法,十进制与三进制的相互转换,要熟练地掌握其转化方法,要注意余数自下而上排列,属于基础题.