湖北省荆州市国营菱角湖农场菱湖中学高三数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合,,且,那么m的值可以是
A.-1 B.0 C. 1 D.2
参考答案:
D
2. 某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是( )
A.
参考答案:
D
3. 若复数z满足方程Z2 +2 =0,则z=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 已知函数的最小正周期为,则当时,函数的值域是( )
A.[-2,1] B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-1,2]
参考答案:
D
5. 如图,动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上.过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面相交于M,N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【专题】压轴题.
【分析】只有当P移动到正方体中心O时,MN有唯一的最大值,则淘汰选项A、C;P点移动时,x与y的关系应该是线性的,则淘汰选项D.
【解答】解:设正方体的棱长为1,显然,当P移动到对角线BD1的中点O时,函数取得唯一最大值,所以排除A、C;
当P在BO上时,分别过M、N、P作底面的垂线,垂足分别为M1、N1、P1,
则y=MN=M1N1=2BP1=2?xcos∠D1BD=2?是一次函数,所以排除D.
故选B.
【点评】本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力,同时考查特殊点法、排除法.
6. 已知,函数的零点个数为
A.2 B.3 C.4 D.2或3或4
参考答案:
A
略
7. 设双曲线的渐近线与抛物线相切,则该双曲线的离心率为( )
A. 3 B. C. D.
参考答案:
C
8. 函数y=xcosx﹣sinx在下面哪个区间内是增函数( )
A.(,) B.(π,2π) C.(,) D.(2π,3π)
参考答案:
B
【考点】余弦函数的单调性;函数单调性的判断与证明;正弦函数的单调性.
【分析】分析知函数的单调性用三角函数的相关性质不易判断,易用求其导数的方法来判断其在那个区间上是减函数.
【解答】解:y'=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx
欲使导数为正,只需x与sinx符号总相反,
分析四个选项知,B选项符合条件,
故应选B.
【点评】考查判断函数单调性的方法.一般可以用定义法,导数法,其中导数法判断函数的单调性是比较简捷的方法.
9. 下列命题错误的是( )
A.命题“若,则”的逆否命题为
“若中至少有一个不为0,则”
B.若命题:,则:
C.中,是的充要条件
D.若为假命题,则、均为假命题
参考答案:
D
10. 已知定义在上的函数,则曲线在点处的切线方程是
A. B. C. D.
参考答案:
A
令,解得. 对求导,得+2x?1+cosx,令,解得,故切线方程为.选A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将参数方程(为参数,)化为普通方程,
所得方程是_____ _____.
参考答案:
()
略
12. 已知,若不等式恒成立,则m的最大值为_______
参考答案:
16
略
13. .为单位圆上的弦,为单位圆上的动点,设的最小值为,若的最大值满足,则的取值范围为 .
参考答案:
略
14. 已知集合,集合,则 .
参考答案:
{3,4}
,
15. 某校在一次测试中约有600人参加考试,数学考试的成绩(,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的,则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人.
参考答案:
120
16. 从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率为______.
参考答案:
略
17. .若函数有三个不同的零点,则实数的取值范围是 .
参考答案:
由,得,当,得,由图象可知,要使函数有三个不同的零点,则有,即,所以实数的取值范围是。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分)
若数列的前项和为,对任意正整数都有.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和
参考答案:
(1);(2)
【知识点】数列的求和;对数的运算性质;数列与不等式的综合
解析:(1)由,得,解得. …………2分
由 ……①,
当时,有 ……②, …………3分
①-②得:, …………4分
数列是首项,公比的等比数列 …………5分
, …………6分
(2)由(1)知.…………7分
所以…………9分
当为偶数时,
…………11分
当为奇数时,
所以…………13分
【思路点拨】(1)由,得,解得,当时,有,两式相减可得数列是首项,公比的等比数列,进而得到通项公式;(2)根据条件得到的通项,然后对n分类讨论即可得到.
19. 已知椭圆的左、右焦点为F1,F2,长轴端点为A,B,O为椭圆中心,,斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点,这两点在x轴上的射影恰好是椭圆C的两个焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若抛物线上存在两个点M,N,椭圆C上存在两个点P,Q,满足M,N,F2三点共线,P,Q,F2三点共线,且,求四边形PMQN面积的最小值.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)由,可得,由于斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,这两点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,可知直线过原点,表示出直线方程,可得直线与椭圆的一个交点坐标,代入椭圆中,可得到,的值,由此得到椭圆的方程。
(2)分类讨论直线斜率存在与不存在的情况,当斜率不存在时,根据题意可得,,即可得到四边形的面积,当斜率存在时,设出直线的点斜式方程以及直线的方程,将直线的方程与抛物线联立方程,得到关于的一元二次方程,由弦长公式表示出,再联立直线与椭圆的方程,得出的长,最后表示出四边形面积关于斜率的表达式,利用基本不等式即可求出四边形面积最小值。
【详解】解:(1)设椭圆方程为,
利用数量积运算可得,可得,
直线的方程为,当时,,
代入椭圆方程可得,
联立解得,,椭圆方程.
(2)①当直线的斜率不存在时,直线的斜率为0,得到,,;
②当直线的斜率存在时,设直线方程为,
与抛物线联立得。
令,,则,,
,
因为,所以直线的方程为,
将直线与椭圆联立,得,
令,,则,,
所以,
所以四边形面积,
令,
则,
所以,其最小值为.
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解,同时考查直线与椭圆、抛物线联立,运用韦达定理和弦长公式,以及四边形面积的最小值的求法,考查学生的运算求解能力,属于中档题。
20. (本小题满分10分)(选修4-5不等式选讲)
设函数.
(Ⅰ)求证:当时,不等式成立.
(Ⅱ)关于的不等式在R上恒成立,求实数的最大值.
参考答案:
(1)略(2)
【知识点】选修4-5 不等式选讲N4
(1) 证明:由
得函数的最小值为3,从而,所以成立.
(2) 由绝对值的性质得,
所以最小值为,从而,解得,因此的最大值为.
【思路点拨】利用分段函数最值证明结论,根据绝对值的意义求出a的最大值。
21. 如图,在多面体ABCDE中,AE⊥面ABC,DB//AE,且AC=AB=BC=AE=1,BD=2,F为CD中点。
(1)求证:EF⊥平面BCD;
(2)求多面体ABCDE的体积;
(3)求平面ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值。
参考答案:
解:(Ⅰ)找BC中点G点,连接AG,FG
F,G分别为DC,BC中点
∴ ∴ //AG
面,∥ DB⊥平面ABC
又∵DB平面
平面ABC⊥平面
又∵G为 BC中点且AC=AB=BC
AG⊥BC
AG⊥平面
平面 ……………………….4分
(Ⅱ)过C作CH⊥AB,则CH⊥平面ABDE且CH=
…………8分
(Ⅲ)以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系
则
平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值
法二(略解):延长DE交BA延长线与R点,连接CE,易知AR=BA=1, ∠RCB=
平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值
略
22. 在平面直角坐标系中,已知过点的椭圆:的右焦点为,过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于,两点,点关于坐标原点的对称点为,直线,分别交椭圆的右准线于,两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点的坐标为,试求直线的方程;
(3)记,两点的纵坐标分别为,,试问是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
参考答案:
直线方程:,,
略