湖北省武汉市第十七中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知为锐角,且=,=-,则=
(A) (B) (C) (D)以上答案都不对
参考答案:
A
2. 若复数z满足zi=1+i,则z的共轭复数是( )
A.-1-i B.1+i C.-1+i D.1-i
参考答案:
B
3. 已知P,Q为动直线y=m(0<m<)与y=sinx和y=cosx在区间上的左,右两个交点,P,Q在x轴上的投影分别为S,R.当矩形PQRS面积取得最大值时,点P的横坐标为x0,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】H7:余弦函数的图象;H2:正弦函数的图象.
【分析】由题意知,P与Q关于直线对称,设P(x,sinx),则矩形PQRS的面积为S(x)=(﹣2x)?sinx,(0<x<),再利用导数求得矩形面积S(x)的最大值.
【解答】解:由题意知,P与Q关于直线对称,设P(x,sinx),则,∴,
∴,∴S″=﹣4cosx﹣(﹣2x)sinx,
∵,∴S''(x)<0,∴S′(x)在区间上单调递减,
且,,
∴S′(x)在区间存在唯一零点,即为x0.
令S′(x0)=0得:,即.
由不等式得:,解得:,
故选:A.
4. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,点D是边BC的中点,且,则△ABC的面积为( )
A. B. C. 或 D. 或
参考答案:
D
【详解】由题可知,,则,或.因为,所以,即,当时,,所以的面积为;当时,,所以的面积为.
故答案为:D.
【点睛】这个题考查了三角函数两角和差公式的逆用,以及向量的模长的应用,三角函数的面积公式的应用,题型比较综合.
5. 在中,角的对边分别为,且, 则的形状是( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
参考答案:
B
略
6.
设集合A =, B=,则A∩B=
A. B. C. D.
参考答案:
答案:D
7. 函数y=3|log3x|的图象是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法.
【专题】作图题;转化思想.
【分析】由函数解析式,此函数是一个指数型函数,且在指数位置带有绝对值号,此类函数一般先去绝对值号变为分段函数,再依据此分段函数的性质来确定那一个选项的图象是符合题意的.
【解答】解:y=3|log3x|=,即y=
由解析式可以看出,函数图象先是反比例函数的一部分,接着是直线y=x的一部分,
考察四个选项,只有A选项符合题意,
故选A.
【点评】本题的考点是分段函数,考查分段函数的图象,作为函数的重要性质之一的图象问题也是高考常考点,而指对函数的图象一直是考纲要求掌握并理解的.
8. 设向量=(1,)与=(-1, 2)垂直,则等于 ( )
0 -1
参考答案:
C
9. 设,若函数为单调递增函数,且对任意实数x,都有(e是自然对数的底数),则
A.1 B.e+1 C.3 D.e+3
参考答案:
C
略
10. 若在区间上有极值点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知等差数列前n项和为.若,,则=_______, .
参考答案:
4,110
设等差数列的公差为,则,即,,,,,故答案为4,110.
12. 已知命题p:?x∈R,x2>x﹣1,则?p为 .
参考答案:
?x∈R,x2≤x﹣1
略
13. 在边长为4的正方形中,沿对角线将其折成一个直二面角,则点到直线的距离为__________
参考答案:
14. 数列为等比数列,且 .
参考答案:
16
15. 设点是区域内的随机点,则满足的概率是____.
参考答案:
16. 已的夹角为30°,则的值为 。
参考答案:
17. 已知三角形所在平面与矩形所在平面互相垂直,,
,若点都在同一球面上,则此球的表面积等于_______.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四棱锥中,底面,
,,
是的中点.Ks5u
(1)证明;
(2)证明平面;
(3)求二面角的正切值。
参考答案:
解:(Ⅰ)证明:在四棱锥中,因底面,平面,故.
,平面.
而平面,.
(Ⅱ)证明:由,,可得.
是的中点,.
由(Ⅰ)知,,且,所以平面.
而平面,.
底面在底面内的射影是,,.
又,综上得平面.
(Ⅲ)解法一:过点作,垂足为,连结.则(Ⅱ)知,平面,在平面内的射影是,则.
因此是二面角的平面角.
由已知,得.设,
可得.
在中,,,
则.在中,.
所以二面角的大小是.
解法二:由题设底面,平面,则平面平面,交线为.
过点作,垂足为,故平面.过点作,垂足为,连结,故.因此是二面角的平面角.
由已知,可得,设,
可得.
,.
于是,.
在中,.
所以二面角的大小是.
略
19. 已知函数.
(Ⅰ)设,求的值域;
(Ⅱ)在△ABC中,角,,所对的边分别为,,.已知c=1,,且△ABC的面积为,求边a和b的长.
参考答案:
(Ⅰ)==.
时,值域为.
(Ⅱ)因为,由(1)知.
因为△ABC的面积为,所以,于是. ①
在△ABC中,设内角A、B的对边分别是a,b.
由余弦定理得,所以. ②
由①②可得或
略
20. 设p:“方程x2+y2=4﹣a表示圆”,q:“方程﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线”,如果p和q都正确,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】命题的真假判断与应用;双曲线的简单性质.
【分析】先求出命题p真、命题q真时a的范围,由 p和q都正确,得?实数a的取值范围.
【解答】解:若命题p真:方程x2+y2=4﹣a表示圆,4﹣a>0,即a<4,
若命题q真:则a+1>0,得a>﹣1,
∵p和q都正确,所以?﹣1<a<4,实数a的取值范围:(﹣1,4)
【点评】本题考查了复合命题的判断,考查圆和双曲线的性质,是一道基础题
21. 过点作倾斜角为的直线与曲线交于点,
求的值及相应的的值。
参考答案:
解析:设直线为,代入曲线并整理得
则
所以当时,即,的最小值为,此时。
22. 已知等腰直角分别为的中点,将沿CD折到的位置,,取线段SB的中点为E.
(1)求证:CE//平面SAD;
(2)求二面角的余弦值
参考答案:
解:(1)证明:取中点,连接
又
四边形为平行四边形
(2)面面,面面
面
面
面
又
两两互相垂直
如图所示,分别以为轴建立空间直角坐标系
则
设平面,平面的法向量分别为
则
取
取
二面角的平面角的余弦值为.