湖北省武汉市钢城德才中学2022-2023学年高一数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在正三棱锥P﹣ABC中,D、E分别为AB、BC的中点,有下列三个论断:①面APC⊥面PBD;②AC∥面PDE;③AB⊥面PDC,其中正确论断的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
【考点】棱柱的结构特征.
【分析】对于①利用正三棱锥的性质即可判定,对于②利用线面平行的判定定理进行判定,对于③利用线面垂直的判定定理进行判定.
【解答】解:①根据正三棱锥的性质可知,面APC⊥面PBD不成立,故不正确;
②∵AC∥DE,AC?面PDE,DE?面PDE,
∴AC∥平面PDE,故正确
③AB⊥PD,AB⊥CD,PD∩CD=D,∴AB⊥面PDC,③显然正确;
故选C.
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定,以及直线与平面垂直的判定考查的知识点比较多,属于基础题.
2. 化简的结果是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 已知,,则cosα=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
4. 已知函数,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是( )
A.(1,10) B.(5, 6) C.(10,12) D.
参考答案:
C
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的图象;对数的运算性质;对数函数的图像与性质.
【专题】作图题;压轴题;数形结合.
【分析】画出函数的图象,根据f(a)=f(b)=f(c),不妨a<b<c,求出abc的范围即可.
【解答】解:作出函数f(x)的图象如图,
不妨设a<b<c,则
ab=1,
则abc=c∈(10,12).
故选C.
【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力.
5. 已知集合U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,5},集合B={1,3,4},则(?UA)∩B=( )
A.{1} B.{3,4} C.{2,5} D.{1,2,3,4,5}
参考答案:
B
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】由全集U及A,求出A的补集,找出A补集与B的交集即可.
【解答】解:∵集合U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,5},集合B={1,3,4},
∴?UA={3,4,6},
则(?UA)∩B={3,4}.
故选:B.
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
6. 已知数列{an}的通项为,下列表述正确的是( )
A.最大项为0,最小项为 B.最大项为0,最小项不存在
C. 最大项不存在,最小项为 D.最大项为0,最小项为
参考答案:
A
令,则,,对称轴,
由复合函数的单调性可知,数列先增后减,
又为整数,则时,取到最小项为,时,取到最大项为0.
故选A。
7. 某几何体的三视图如右图所示,那么这个几何体是( )
A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台
参考答案:
B
8. 已知满足对,且时,(为常数),
则的值为( )
A.4 B.-4 C.6 D.-6
参考答案:
B
试题分析:由题设函数是奇函数,故,即,所以,故应选B.
考点:分段函数的奇偶性及求值运算.
9. 命题则在下述判断:①p或q为真;②p或q为假;③p且q为真;④p且q为假;⑤非p为真;⑥非q为假.其中正确的的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
C 解析: ①④⑤⑥正确.
10. 已知向量,若,则( )
A. B.9 C. 13 D.
参考答案:
C
由于两个向量垂直,故,故.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(22++1)<f(32-4+1)成立,则的取值范围是___________ .
参考答案:
解析:∵在(0,∞)上有定义,又;
仅当或时,(*); ∵在(0,∞)上是减函数,
∴,结合(*)知惑
.
12. 对于函数,若()恒成立,则称为函数的一个“P数对”;若是的一个“P数对”,,且当时,,关于函数有以下三个判断:
①k=4; ②在区间上的值域是[3,4]; ③.
则正确判断的所有序号是_______________.
参考答案:
①②③
略
13. 是定义在上的奇函数,且当,设,给出三个条件:①②,③.其中可以推出的条件共有 个.
参考答案:
3
14. 设α∈(0,),若sinα=,则cos(α+)等于________.
参考答案:
∵α∈(0,),sinα=,
∴cosα=,
15. 设COS2θ= ,则COS4θ+sin4 θ的值是
参考答案:
16. .
参考答案:
略
17. 设函数,若用表示不超过实数的最大整数,则函数的值域为___ __________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0且ω>0,0<φ<的部分图象,如图所示.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若方程f(x)=a在上有两个不同的实根,试求a的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)由图象易知函数f(x)的周期为
T=4×=2π,A=1,所以ω=1.-----3分
法一 由图可知此函数的图象是由y=sin x的图象向左平移个单位得到的,故φ=,所以函数解析式为f(x)=sin.-----------6分
法二 由图象知f(x)过点.则sin=0,∴-+φ=kπ,k∈Z.
∴φ=kπ+,k∈Z,又∵φ∈,∴φ=,∴f(x)=sin.
(Ⅱ)方程f(x)=a在上有两个不同的实根等价于y=f(x)与y=a的图象在上有两个交点,在图中作y=a的图象,如图为函数f(x)=sin在上的图象,当x=0时,f(x)=,当x=时,f(x)=0,由图中可以看出有两个交点时,a∈∪(-1,0).------12分
略
19. 若且,解关于的不等式.
参考答案:
解:当时,原不等式等价于
…………4分
当时,原不等式等价于
……………………7分
因此,当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为 …………………8分
20. 《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金(扣除三险一金后)所得不超过3500元的部分不必纳税,超过3500元的部分为全月应纳税所得额个人所得税计算公式:应纳税额=工资-三险一金=起征点. 其中,三险一金标准是养老保险8%、医疗保险2%、失业保险1%、住房公积金8%,此项税款按下表分段累计计算:
全月应纳税所得额
税率(%)
不超过1500元的部分
3
超过1500元至4500元的部分
10
超过4500元至9000元的部分
20
超过9000元至35000元的部分
25
超过35000元至55000元的部分
30
超过55000元至80000元的部分
35
超过80000元的部分
45
(1)某人月收入15000元(未扣三险一金),他应交个人所得税多少元?
(2)某人一月份已交此项税款为1094元,那么他当月的工资(未扣三险一金)所得是多少元?
参考答案:
(1)本月应纳税所得额为 元
由分段纳税:
应交税款为:元…4分
(2) 1049元=45元+300元+749元,
所以应纳税额为 元
设工资是元,则 元
所以该人当月收入工资薪酬为14500元.
21. 设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,且,.
(1)证明:数列为等比数列;
(2)设,证明:.
参考答案:
(1)当n=1时,2T1=4S1-2,且T1=S1=a1,解得a1=1,
当n=2时,2T2=2(a1+a1+a2)=4(a1+a2)-6,解得a2=3,
当n≥2时,2Tn-1=4Sn-1-[(n-1)2+(n-1)]
∴2Sn=2Tn-2Tn-1=4Sn-(n2+n)-4Sn-1+[(n-1)2+(n-1)]
整理得Sn=2Sn-1+n ①
则Sn+1=2Sn+n+1 ②
由②-①,得an+1=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1),即 ,
显然 ,
∴数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列………6分
(2)由(1)知,an+1=2n,则.
则 ,
令,①
则 ,②
由①-②,得
则Tn<3,即b1+b2+…+bn<3. ……………12分
22. (本小题12分)某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱吨需要耗一级子棉吨、二级子棉吨;生产乙种棉纱吨需要耗一级子棉吨、二级子棉吨.每吨甲种棉纱的利润是元,每吨乙种棉纱的利润是元.工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过吨,二级子棉不超过吨.则甲乙两种棉纱各应生产多少吨,能使利润总额达到最大?
参考答案:
解:设生产甲、乙两种棉纱分别为吨,吨,利润总额为元,(2分)则 (6分)目标函数为:(8分)
作出可行域(图略)(11分)
解方程组 ,得直线与的交点坐标为.
把直线向右上方平移,当直线过点时取得最大值.
故应生产甲种棉纱吨,乙种棉纱吨,能使利润总额达到最大.(15分)