湖北省武汉市美塘中学2023年高一数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如果,且那么直线不通过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
C
2. 若函数是定义在上的偶函数,在上是减函数,且,则使得的的取值范围是 ( ▲ )
A B C D
参考答案:
A
略
3. 等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,若=,则等于( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
D
4. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A.y=|x|(x∈R) B.y=﹣x3(x∈R)
C. D.
参考答案:
B
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】根据偶函数、奇函数的定义,减函数的定义,奇函数图象的对称性,以及反比例函数在定义域上的单调性即可判断每个选项的正误,从而找出正确选项.
【解答】解:A.y=|x|是偶函数,不是奇函数,∴该选项错误;
B.﹣(﹣x)3=﹣(﹣x3),∴y=﹣x3是奇函数;
x增大时,x3增大,﹣x3减小,即y减小;
∴y=﹣x3在定义域R上是减函数,∴该选项正确;
C.的图象不关于原点对称,不是奇函数,∴该选项错误;
D.在定义域上没有单调性,∴该选项错误.
故选:B.
【点评】考查奇函数和偶函数的定义,以及减函数的定义,奇函数图象的对称性,反比例函数的单调性,要熟悉指数函数的图象.
5. 用固定的速度向右图形状的瓶子中注水,则水面的高度和时间之间的关系是
参考答案:
B
略
6. 已知 ,则
A.0 B.2015
C.e D.
参考答案:
C
7.
在中,,若函数在上为单调递减函数,则下列命题中正确的是( )
A、 B、
C、 D、
参考答案:
C
8. 已知偶函数在区间单调递减,则满足的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
试题分析:∵在区间单调递减,∴当时,即时,不等式可化为,解得,结合可得的取值范围是;当时,即时,因为函数是偶函数,∴不等式等价于,可化为,解得,结合可得的取值范围是,综上的取值范围是,故选A.
考点:函数的奇偶性与单调性
9. 若点是角终边上异于原点的一点,则的值是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
10. 已知函数则对其奇偶性的正确判断是
A.既是奇函数也是偶函数 B.既不是奇函数也不是偶函数
C.是奇函数不是偶函数 D.是偶函数不是奇函数
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (4分)在△ABC中,已知tanA,tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根,则tanC= .
参考答案:
-7
考点: 两角和与差的正切函数.
专题: 计算题.
分析: 首先根据韦达定理表示出两根之和tanA+tanB与两根之积tanAtanB,然后根据三角形的内角和为π,把角C变形为π﹣(A+B),利用诱导公式化简后,然后再利用两角和的正切函数公式化简,把tanA+tanB与tanAtanB代入即可求出值.
解答: ∵tanA,tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根,
则tanA+tanB=,tanAtanB=,
∴tanC=tan=﹣tan(A+B)=﹣=﹣7
故答案为:﹣7
点评: 此题考查学生灵活运用韦达定理、诱导公式及两角和的正切函数公式化简求值,本题解题的关键是利用三角形本身的隐含条件,即三角形内角和是180°
12. 若为等差数列的前n项和,, ,则与的等差中项为____________.
参考答案:
-6
13. 若,则 .
参考答案:
略
14. 把一颗骰子投掷2次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为,第二次出现的点数为,则方程组只有一个解的概率为 .
参考答案:
略
15. 等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是
(填“大于、小于或等于”).
参考答案:
<
16. 已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R)满足f(1)=0,且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(﹣3,﹣2),(0,1)内,则实数b的取值范围为 .
参考答案:
(,)
【考点】函数零点的判定定理;二次函数的性质.
【分析】利用f(1)=0,推出b,c关系,利用函数的零点所在区间列出不等式组,求解即可.
【解答】解:二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R)满足f(1)=0,
可得:1+2b+c=0,
关于x的方程f(x)+x+b=0即x2+2bx+x+b+c=0的两个实数根分别在区间(﹣3,﹣2),(0,1)内,
可得,
即:,
解得b∈(,).
故答案为:(,).
17. (金陵中学2011年高考预测)定义函数=,其中表示不超过x的最大整数, 如:=1,=-2.当x∈,(n∈)时,设函数的值域为A,记集合A中的元素个数为,则式子的最小值为 .
参考答案:
13
当x∈,时,===0;
当x∈,时,====1;
当x∈,时,再将,等分成两段,x∈,时,====4;x∈,时,====5.
类似地,当x∈,时,还要将,等分成三段,又得3个函数值;将,等分成四段,得4个函数值,如此下去.当x∈,(n∈)时,函数的值域中的元素个数为=1+1+2+3+4+…+(n-1)=1+,于是=+-=-,所以当n=13或n=14时,的最小值为13.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (Ⅰ)已知,求的值;
(Ⅱ)计算的值.
参考答案:
解:(Ⅰ)∵…………………………………………………4分
(Ⅱ)原式……………………………………………………8分
………………………………………………10分
……………………………………………………………11分
…………………………………………………………………………12分
19. 设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且a2+c2=b2+6c,bsinA=4.
(1)求边长a;
(2)若△ABC的面积S=10,求cosC的值.
参考答案:
【考点】余弦定理;正弦定理.
【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形.
【分析】(1)由余弦定理可求得acosB=3,又bsinA=4,从而可求,结合同角三角函数关系式即可求得sinB,cosB的值,从而可求a的值.
(2)由三角形面积公式可求c,由余弦定理可求b,即可求得cosC的值.
【解答】解:(1)∵,
∴acosB=3(2分)
又bsinA=4,
∴,
∴,
∴a=5(6分)
(2),
∴c=5(8分)
b2=a2+c2﹣2accosB=20,
∴(10分)
∴(12分)
【点评】本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式,同角三角函数关系式的应用,考查了计算能力,属于中档题.
20. 2013年4月20日,四川省雅安市发生7.0级地震,某运输队接到给灾区运送物资任务,该运输队有8辆载重为6t的A型卡车,6辆载重为10t的B型卡车,10名驾驶员,要求此运输队每天至少运送720t救灾物资.已知每辆卡车每天往返的次数为A型车16次,B型车12次,每辆卡车每天往返的成本为A型车240元,B型车378元,问每天派出A型车与B型车各多少辆,运输队所花的成本最低?
参考答案:
【考点】7C:简单线性规划.
【分析】设每天派出A型车x辆,B型车y辆,由题意列出约束条件,作出可行域,求出使目标函数取得最小值的整解得答案.
【解答】解:设每天派出A型车x辆,B型车y辆,则A型车每天运物96x(0≤x≤8)吨,每天往返成本费240x元;
B型车每天运物120y(0≤y≤4)吨,每天往返成本费378y元;
公司总成本为z=240x+378y,
满足约束条件的可行域如图示:
由图可知,当x=8,y=﹣0.4时,z有最小值,但是A(0,﹣0.4)不合题意,
目标函数向上平移过C(7.5,0)时,不是整解,继续上移至B(8,0)时,
z=240×8+378×0=1920有最小值,最小值为1920元.
即当每天应派出A型车8辆、B型车0辆,能使公司总成本最低,最低成本为1920元.
21. 函数对一切x、y∈R,都有f(x+y)= f(x)+ f(y).
(1)求证f(x)是奇函数;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)若f(-3)=a,求f(12)(用a表示)。
参考答案:
证明:(1)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∵f(x+y)= f(x)+ f(y)
令y=-x,得:f(0)= f(x)+ f(-x)
令x=y=0,得:f(0)= f(0)+ f(0) ∴f(0)=0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数;
(2)f(12)=2 f(6)= 4 f(3)= -4 f(-3)=-4a w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
22. (本小题满分12分)已知定义在区间上的函数的图像关于直线
对称,当时,函数的图像如下图所示。
(Ⅰ) 求函数在上的解析式;
(Ⅱ) 求方程的解.
参考答案:
解:(Ⅰ)由图像知。当时,将代入得。因为 故。所以时,。由关于直线对称,当